Возведём обе части в куб :

[tex]\displaystyle\bf\\(\sqrt[3]{4x+3} -\sqrt[3]{x+2} )^{3} =1^{3} \\\\\\4x+3-3\cdot(\sqrt[3]{4x+3} )^{2} \cdot \sqrt[3]{x+2} +3\cdot \sqrt[3]{4x+3} \cdot(\sqrt[3]{x+2} )^{2} -(x+2)=1\\\\\\3x+3-2-1-3\cdot\Big[\sqrt[3]{(4x+3)\cdot(x+2)} \cdot \Big(\underbrace{\sqrt[3]{4x+3} -\sqrt[3]{x+2}}_{1} \Big)\Big]=0\\\\\\3x-3\cdot\sqrt[3]{(4x+3)(x+2)}=0\\\\\\\sqrt[3]{(4x+3)(x+2)}=x[/tex]

Ещё раз возведём обе части в куб :

[tex]\displaystyle\bf\\\Big(\sqrt[3]{(4x+3)(x+2)} \Big)^{3} =x^{3} \\\\\\(4x+3)(x+2)=x^{3} \\\\\\4x^{2} +8x+3x+6=x^{3} \\\\\\x^{3} -4x^{2} -11x-6=0\\\\(x+1)(x^{2} -5x-6)=0\\\\\\(x+1)(x-6)(x+1)=0\\\\\\\left[\begin{array}{ccc}x+1=0\\x-6=0\end{array}\right\\\\\\\left[\begin{array}{ccc}x_{1} =-1\\x_{2} =6\end{array}\right\\\\\\Otvet \ : \ -1 \ ; \ 6[/tex]