Решение .
Частные производные 2 порядка .
При нахождении производной по одной переменной, вторая переменная считается константой .
[tex]\bf z=x^{xy}\ \ \to \ \ \ \ z=e^{ln(x^{xy})}\ \ ,\ \ z=e^{xy\cdot lnx}\ \ ,\\\\z'_{x}=e^{xy\cdot lnx}\cdot (xy\cdot lnx)'_{x}=e^{xy\cdot lnx}\cdot (y\cdot lnx+xy\cdot \dfrac{1}{x})=x^{xy}\cdot (y\cdot lnx+y)\\\\z'_{y}=e^{xy\cdot lnx}\cdot (xy\cdot lnx)'_{y}=e^{xy\cdot lnx}\cdot (x\cdot lnx)=x^{xy}\cdot x\cdot lnx=x^{xy+1}\cdot lnx}[/tex]
[tex]\bf z''_{xx}=\Big(e^{xy\cdot lnx}\cdot (y\cdot lnx+y)\Big)'_{x}=e^{xy\cdot lnx}\cdot (y\cdot lnx+y)^2+e^{xy\cdot lnx}\cdot \dfrac{y}{x}=\\\\=x^{xy}\cdot (y\cdot lnx+y)^2+x^{xy-1}\cdot y\\\\z''_{xy}=\Big(e^{xy\cdot lnx}\cdot (y\cdot lnx+y)\Big)'_{y}=e^{xy\cdot lnx}\cdot (x\cdot lnx)\cdot (y\cdot lnx+y)+\\\\+e^{xy\cdot lnx}\cdot \Big(lnx+1\Big)=x^{xy+1}\cdot lnx\cdot y\cdot (lnx+1)+x^{xy}\cdot (lnx+1)\\\\z''_{yz}=z''_{zy}[/tex]
[tex]\bf z''_{yy}=\Big(e^{xy\cdot lnx}\cdot x\cdot lnx\Big)'_{y}=e^{xy\cdot lnx}\cdot (x\cdot lnx)^2+e^{xy\cdot lnx}\cdot \Big(1\cdot lnx+x\cdot \dfrac{1}{x}\Big)=\\\\=x^{xy}\cdot x^2\cdot ln^2x+x^{xy}\cdot (lnx+1)=x^{xy}\cdot (x^2\, ln^2x+lnx+1)[/tex]
Copyright © 2025 SCHOLAR.TIPS - All rights reserved.
Answers & Comments
Решение .
Частные производные 2 порядка .
При нахождении производной по одной переменной, вторая переменная считается константой .
[tex]\bf z=x^{xy}\ \ \to \ \ \ \ z=e^{ln(x^{xy})}\ \ ,\ \ z=e^{xy\cdot lnx}\ \ ,\\\\z'_{x}=e^{xy\cdot lnx}\cdot (xy\cdot lnx)'_{x}=e^{xy\cdot lnx}\cdot (y\cdot lnx+xy\cdot \dfrac{1}{x})=x^{xy}\cdot (y\cdot lnx+y)\\\\z'_{y}=e^{xy\cdot lnx}\cdot (xy\cdot lnx)'_{y}=e^{xy\cdot lnx}\cdot (x\cdot lnx)=x^{xy}\cdot x\cdot lnx=x^{xy+1}\cdot lnx}[/tex]
[tex]\bf z''_{xx}=\Big(e^{xy\cdot lnx}\cdot (y\cdot lnx+y)\Big)'_{x}=e^{xy\cdot lnx}\cdot (y\cdot lnx+y)^2+e^{xy\cdot lnx}\cdot \dfrac{y}{x}=\\\\=x^{xy}\cdot (y\cdot lnx+y)^2+x^{xy-1}\cdot y\\\\z''_{xy}=\Big(e^{xy\cdot lnx}\cdot (y\cdot lnx+y)\Big)'_{y}=e^{xy\cdot lnx}\cdot (x\cdot lnx)\cdot (y\cdot lnx+y)+\\\\+e^{xy\cdot lnx}\cdot \Big(lnx+1\Big)=x^{xy+1}\cdot lnx\cdot y\cdot (lnx+1)+x^{xy}\cdot (lnx+1)\\\\z''_{yz}=z''_{zy}[/tex]
[tex]\bf z''_{yy}=\Big(e^{xy\cdot lnx}\cdot x\cdot lnx\Big)'_{y}=e^{xy\cdot lnx}\cdot (x\cdot lnx)^2+e^{xy\cdot lnx}\cdot \Big(1\cdot lnx+x\cdot \dfrac{1}{x}\Big)=\\\\=x^{xy}\cdot x^2\cdot ln^2x+x^{xy}\cdot (lnx+1)=x^{xy}\cdot (x^2\, ln^2x+lnx+1)[/tex]