Ответ:

Третья сторона треугольника равна √97 см.

Объяснение:

Две стороны треугольника равны 7 см и 8 см синус угла между ними  [tex]\displaystyle \bf \frac{4\sqrt{3} }{7}[/tex] .  Найдите третью сторону треугольника.

Дано: ΔАВС;

АВ = 7 см; АС = 8 см;

[tex]\displaystyle sinA = \frac{4\sqrt{3} }{7}[/tex]

Найти: ВС.

Решение:

1 способ.

Проведем высоту ВН.

Рассмотрим ΔАВН - прямоугольный.

• Синус угла - отношение противолежащего катета к гипотенузе.

[tex]\displaystyle sinA=\frac{BH}{AB}\;\;\;\Rightarrow \;\;\;BH=\frac{4\sqrt{3} }{7} \cdot7=4\sqrt{3}[/tex]   (см)

По теореме Пифагора:

[tex]\displaystyle AB^2=BH^2+AH^2 \;\;\;\Rightarrow \;\;\;AH=\sqrt{49-48}=1[/tex]  (см)

Рассмотрим ΔНВС - прямоугольный.

НС = АС - АН = 8 - 1 = 7 (см)

По теореме Пифагора:

ВС² = ВН² + НС² = 48 + 49 = 97   ⇒   ВС = √97 см

Третья сторона треугольника равна √97 см.

2 способ.

• Основное тригонометрическое тождество:

        sin²α + cos²α = 1

⇒   [tex]\displaystyle cos^2A=1-sin^2A = 1 -\frac{48}{49}=\frac{1}{49}\;\;\;\Rightarrow \;\;\;cosA=\frac{1}{7}[/tex]

• Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

[tex]\displaystyle BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB \cdot AC\cdot cosA\\\\BC^2=49 + 64 - 2\cdot7\cdot8\cdot \frac{1}{7}=97[/tex]

BC = √97 (см)

Третья сторона треугольника равна √97 см.

#SPJ1