Утверждение 1: [tex]$x$[/tex] и [tex]$z$[/tex] четные

Доказательство: рассмотрим сравнение по модулу 3

[tex]$$3^x+4^y \equiv 5^z \bmod 3 \Rightarrow (-1)^z \equiv 1 \bmod 3 \Rightarrow z \; $$[/tex] - чётное

И тоже самое, только по модулю 4

[tex]$$3^x+4^y \equiv 5^z \bmod 4 \Rightarrow (-1)^x \equiv 1 \bmod 4 \Rightarrow x \; \text{четное}$$[/tex] - чётное

Следовательно, [tex]$x=2m$[/tex] и [tex]$z=2n$[/tex], тогда наше уравнение становится

[tex]$$9^m+4^y=25^n$$[/tex]

Утверждение 2: [tex]$5^n=3^m+2$[/tex] верно.

Доказательство: разложим [tex]$25^n-9^m$[/tex] и воспользуемся тем, что [tex]$y > 1$[/tex], в противном случае решений нет. Заметим, что [tex]$4^y$[/tex] кратно [tex]$16$[/tex], поэтому

[tex]$$4^y=(5^n+3^m)(5^n-3^m) \Rightarrow 5^n-3^m=2 \Rightarrow 5^n-3^m \not\equiv 0 \pmod 4$$[/tex]

Заменим [tex]$25^n=9^m+4 \cdot 3^m+4$[/tex] на заданный диофант [tex]$4^{y-1}=3^m+1$[/tex]

Утверждение 3: Единственное значение - [tex]$(2,2,2)$[/tex]

Доказательство: Подставим с обеих сторон в уравнение [tex]$v_3$[/tex]

[tex]$$v_3(4^{y-1}-1)=1+v_3(y-1)=m \Rightarrow m-1=v_3(y-1)\implies y=3^{m-1} \cdot a+1, a \not\equiv 0 \pmod 3$$[/tex]

Случай 1: [tex]$y=4$[/tex]. Отсюда видно, что [tex]$a=1$[/tex] и [tex]$m=2$[/tex], поэтому [tex]$x=4$[/tex]. Заменив на диофант, получим [tex]$81+256=337=5^z$[/tex] противоречие!

Случай 2: [tex]$y \ne 4$[/tex]. [tex]$4^{y-1}-1$[/tex] имеет простой множитель, такой что [tex]$p \ne 3$[/tex]. Предположим, что [tex]$m > 1$[/tex]. Теперь разделим на [tex]$3$[/tex] обе стороны

[tex]$$3^{m-1}=\cfrac{4^{y-1}-1}{3} \equiv 0 \bmod p $$[/tex]

Получили противоречие

Итак, мы имеем, что [tex]$m=1$[/tex], а из этого следует [tex]$x=2$[/tex] и [tex]$y=2$[/tex]. А значит [tex]$(x,y,z)=(2,2,2)$[/tex] - единственное натуральное решение

Ответ:

[tex]x=2, y=2, z=2[/tex]

Объяснение:

Давайте рассмотрим остатки от деления на 3.

Поскольку [tex]3^x[/tex] делится на 3, получим, что [tex]4^y\equiv5^z(\text{mod } 3)[/tex]. Однако [tex]4\equiv1(\text{mod }3)[/tex], следовательно, [tex]4^y\equiv1(\text{mod }3)[/tex] при любых натуральных [tex]y[/tex].

Отсюда [tex]5^z\equiv1(\text{mod }3)[/tex]. Это возможно тогда и только тогда, когда [tex]z[/tex] чётное число. Поскольку [tex]4^y=(2^2)^y=2^{2y}[/tex], имеем [tex]5^{2k}-2^{2y}=3^x[/tex], где [tex]k=\frac{z}{2}[/tex].

Разложим левую часть на множители:

[tex]5^{2k}-2^{2y}=(5^k)^2-(2^y)^2=(5^k-2^y)(5^k+2^y)[/tex]

Поскольку эти числа являются целыми, а в правой части у нас степень тройки, то оба эти числа также являются степенями тройки, и мы получаем [tex]\left \{ {{5^k-2^y=3^{x'}} \atop {5^k+2^y=3^{x''}}} \right.[/tex].  Отнимем эти уравнения и получим [tex]5^k+2^y-(5^k-2^y)=3^{x''}-3^{x'}\rightarrow2^{y+1}=3^{x'}(3^{x''-x'}-1)[/tex]. То есть, оба множителя в правой части являются степенями двойки. Единственное число, которое является и степенью тройки, и степенью двойки, это 1, следовательно, имеем [tex]x'=0[/tex], а [tex]2^{y+1}=3^{x''}-1[/tex].

Доказано, что две степени могут отличаться на единицу, либо когда показатель одной из них равен 1, либо когда это 8 и 9. Оба варианта нам подходят, следовательно:

1)

[tex]x''=1, y+1=1\rightarrow y=0\rightarrow y\notin\mathbb{N}\rightarrow[/tex] этот вариант не подходит, т.к. уравнение надо решать в натуральных числах;

2)

[tex]x''=2, y+1=3 \rightarrow x''=2, y=2\rightarrow x=x''+x'=2+0=2, y=2\rightarrow z=\log_5(3^x+4^y)=\log_525=2 \rightarrow (x,y,z)=(2,2,2)[/tex]

То есть, у этого уравнения есть единственный корень [tex]x=2, y=2, z=2[/tex].