[tex]\[\left\{\begin{aligned}&(a-1) x^2 - 2x - a > 0, \\[1ex] &x > 3.\end{aligned}\right.\][/tex]

Рассмотрим сначала особую точку [tex]a = 1[/tex] --- там парабола вырождается в прямую. Тогда

[tex]\[\left\{\begin{aligned}&{-2x}-1 > 0, \\ &x > 3\end{gathered}\right.\implies x\in\varnothing.\][/tex]

Значит, все дальнейшие рассуждения проводим при [tex]a\neq 1[/tex].

Найдём корни функции [tex]f(x) = (a-1) x^2-2x-a[/tex]:

[tex]x_{1,2}=\dfrac{1\pm\sqrt{a^2-a+1}}{a-1} \equiv x_0 \pm \dfrac{\sqrt{a^2-a+1}}{a-1},\quad x_0 = \dfrac{1}{a-1},[/tex]

где [tex]x_0[/tex] --- вершина параболы и по совместительству точка экстремума функции [tex]f(x)[/tex].

Значение функции в этой точке равно

[tex]f_0 = f(x_0) = -\dfrac{a^2-a+1}{a-1}=-\dfrac{\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}{a-1}.[/tex]

Из исследования знаков производной/функции легко установить, что при [tex]a < 1[/tex] величина [tex]f_0[/tex] --- максимум (это, впрочем, понятно и из вида функции [tex]f(x)[/tex]), больший нуля. Причём в этом случае [tex]x_0 < 0[/tex], т.е. понятно, что в области [tex]x > 3[/tex] функция будет падать от какого-то максимального положительного (это в лучшем случае, а может уже и от отрицательного) значения. В любом случае, рано или поздно значение функции станет меньше нуля.

Таким образом, рассматриваем значения [tex]a > 1[/tex].

Ну, раз просят наименьшее целое значение параметра, то не будем далеко ходить и рассмотрим [tex]a=2[/tex].

Корни и точка экстремума:

[tex]x_{1,2} = 1\pm\sqrt{3},\quad x_0 = 1.[/tex]

Теперь уже [tex]x_0[/tex] - минимум функции, а (после аналогичного анализа) [tex]f_0 < 0[/tex].

Если нам повезёт, то правый (который [tex]x_2 = 1+\sqrt{3}[/tex]) корень будет лежать левее точки [tex]x=3[/tex], а это будет означать, что к тому времени как функция подойдёт к [tex]x=3[/tex], она уже будет положительна (ведь правее экстремума [tex]x_0 = 1[/tex] парабола рогами вверх будет идти только вверх). Исследуем:

[tex]\begin{gathered}1+\sqrt{3} \vee 3, \\ \sqrt{3} \vee 2, \\ 3 < 4\end{gathered} \implies 1+\sqrt{3} < 3.[/tex]

Победа.

Ответ. [tex]a=2[/tex].