tex] Как решать подобные пределы с синусами и косинусами? Что делать, если при р...

July 2022 1 28 Report

Решить пример подробно:
[tex] \lim_{n \to \infty} ( \frac{n}{5n+11}) ( \frac{cosn}{10n} )[/tex]
Как решать подобные пределы с синусами и косинусами?
Что делать, если при решении предела в числителе получается число, а в знаменателе 0?

Answers & Comments

Newtion

Verified answer

Тут достаточно использовать правило:
Пусть $(a_n),(b_n)$ сходящиеся последовательности. То,

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_nb_n = \lim_{n \to \infty} a_n \cdot \lim_{n \to \infty} b_n$

Т.е. достаточно показать что данные две последовательности сходятся, а дальше перемножить их пределы.

$\displaystyle 1)\lim_{n \to \infty} \frac{n}{5n+11}= \lim_{n \to \infty} \frac{n/n}{5n/n + 11/n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{5+11/n} =\\\\ = \frac{1}{5+ \lim_{n \to \infty} 11/n} = \frac{1}{5+0} = \frac{1}{5} \\\\$

Как же найти второй предел? Достаточно в нашем случае вспомнить фундаментальное неравенство: $-1 \leq \cos x \leq 1$ .

Теперь умножаем на нужное число:
$\displaystyle - \frac{1}{10n} \leq \frac{\cos n}{10n} \leq \frac{1}{10n}$

Так как,

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} - \frac{1}{10n}= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{10n}=0$

То следуя теореме о двух милиционерах:
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\cos n}{10n}=0$

Откуда получаем:
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left( \frac{n}{5n+11}\right) \left( \frac{\cos n}{10n} \right) = \frac{1}{5} \cdot 0=0$

1 votes Thanks 0

Answers & Comments

Verified answer

При переходе радиоволны из газообразной среды в жидкую её частота ….., а длина в...

Какова вероятность извлечь туза или бубновую карту из колоды в 36 карт?...

tex]...

Что присуще только летним мгновениям, вдали от городской суеты?...

Что такое ЦИВИЛИЗОВАННОЕ ОБЩЕСТВО? (определение)...

Вольтер "Кандид" главы о путешествие в Эльдорадо подробное описание государствен...

"Шарик на пружине сместили на расстояние 1 см от положения равновесия и отпустил...

Правление Александра 3 (1881-1894) - краткий обзор...

8)Нужно применять формулы разности косинусов и синусов?, можно ли во второй скоб...

Почему процессы окисления органических веществ в клетке протекают ступенчато? И ...

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social