tex] Как решать подобные пределы с синусами и косинусами? Что делать, если при р...

July 2022 1 13 Report

Решить пример подробно:
[tex] \lim_{n \to \infty} ( \frac{n}{5n+11}) ( \frac{cosn}{10n} )[/tex]
Как решать подобные пределы с синусами и косинусами?
Что делать, если при решении предела в числителе получается число, а в знаменателе 0?

Answers & Comments

Newtion

Verified answer

Тут достаточно использовать правило:
Пусть $(a_n),(b_n)$ сходящиеся последовательности. То,

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_nb_n = \lim_{n \to \infty} a_n \cdot \lim_{n \to \infty} b_n$

Т.е. достаточно показать что данные две последовательности сходятся, а дальше перемножить их пределы.

$\displaystyle 1)\lim_{n \to \infty} \frac{n}{5n+11}= \lim_{n \to \infty} \frac{n/n}{5n/n + 11/n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{5+11/n} =\\\\ = \frac{1}{5+ \lim_{n \to \infty} 11/n} = \frac{1}{5+0} = \frac{1}{5} \\\\$

Как же найти второй предел? Достаточно в нашем случае вспомнить фундаментальное неравенство: $-1 \leq \cos x \leq 1$ .

Теперь умножаем на нужное число:
$\displaystyle - \frac{1}{10n} \leq \frac{\cos n}{10n} \leq \frac{1}{10n}$

Так как,

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} - \frac{1}{10n}= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{10n}=0$

То следуя теореме о двух милиционерах:
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\cos n}{10n}=0$

Откуда получаем:
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left( \frac{n}{5n+11}\right) \left( \frac{\cos n}{10n} \right) = \frac{1}{5} \cdot 0=0$

1 votes Thanks 0

Answers & Comments

Verified answer

pri perehode radiovolny iz gazoobraznoj sredy v zhidkuyu eyo chastota a dlina v

kakova veroyatnost izvlech tuza ili bubnovuyu kartu iz kolody v 36 kart

tex]...

chto prisushe tolko letnim mgnoveniyam vdali ot gorodskoj suety

chto takoe civilizovannoe obshestvo opredelenie

volter kandid glavy o puteshestvie v eldorado podrobnoe opisanie gosudarstven

sharik na pruzhine smestili na rasstoyanie 1 sm ot polozheniya ravnovesiya i otpustil

pravlenie aleksandra 3 1881 1894 kratkij obzor

8nuzhno primenyat formuly raznosti kosinusov i sinusov mozhno li vo vtoroj skob

pochemu processy okisleniya organicheskih veshestv v kletke protekayut stupenchato i

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social