tex] представляет собой рациональную функцию? Нужно как то доказать...

anod2016 @anod2016

July 2022 1 7 Report

При каком условии интеграл [tex] \int\limits{ \frac{ax^2+bx+c}{x^3(x-1)^2} } \, dx [/tex] представляет собой рациональную функцию? Нужно как то доказать.

Answers & Comments

Матов

Verified answer

Положим $\frac{nx^2+mx+v}{x^3} + \frac{ux+y}{(x-1)^2} = \frac{ax^2+bx+c}{x^3(x-1)^2}$
Открыв скобки , и приравняв соответствующие коэффициенты
$n+u=0 \\ m-2n+y=0\\ -2m+n+v=a \\ m-2v=b \\ v=c$
$m=2c+b \\ n= a+2b+3c \\ u=-a-2b-3c \\ v=c \\ y=2a+3b+4c$
$\frac{(a+b*2+3c)*x^2+(2c+b)x+c}{x^3} + \frac{ (-a-2b-3c)x+2a+3b+4c}{(x-1)^2}$ По отдельности
$\frac{a+2b+3c}{x} + \frac{2c+b}{x^2} + \frac{c}{x^3}$ $+ \frac{ (-a-2b-3c)x+2a+3b+4c}{(x-1)^2}$
По свойству интеграла
$\int\limit {(f(x)+f_{1} +...+(x) + f_{n}(x)} )dx =\int\limits{f_{1}(x)} \, dx+\int\limits { f_{2}(x)}dx+...+$
Получим
$\frac{a+b+c}{1-x} - \frac{b+2c}{x} - \frac{c}{2x^2} + ln(1-x)(a+2b+3c) + lnx(a+2b+3c)+C$
Откуда следует , для того чтобы функция была рациональной
$1) a+2b+3c=0 \\a+b+c\ \textgreater \ 0 \\ b+2c\ \textless \ 0\\ c\ \textless \ 0 \\\\
 2)a+2b+3c=0 \\ a+b+c\ \textless \ 0 \\b+2c\ \textgreater \ 0\\ c\ \textless \ 0 \\\\
 3) a+2b+3c=0\\a+b+c\ \textless \ 0 \\ b+2c\ \textgreater \ 0\\ c\ \textgreater \ 0 \\\\
$

Откуда решения
$1) \\
a\ \textgreater \ 0 \ \ ; b\ \textgreater \ -\frac{a}{2} \ \ ; c=\frac{-a-2b}{3} \\
 a \leq 0 \ \ b\ \textgreater \ -2a \ \ ; c = \frac{-a-2b}{3}$
$2) \\
 a\ \textless \ 0 \ \ ; -\frac{a}{2}\ \textless \ b\ \textless \ -2a \ \ ; \ \ \ c = \frac{-a-2b}{3}$
$3) \\
 a\ \textgreater \ 0 ; \ \ b\ \textless \ -2a ; \ \ c=\frac{-a-2b}{3} \\
 a \leq 0 \ \ b\ \textless \ -\frac{a}{2} \ \ c=-\frac{-a-2b}{3}$

anod2016 Рациональная функция — это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены, а разве натуральный логарифм это многочлен?

Матов интересно откуда , такое правило ? ". Интеграл от любой рациональной функциис действительными коэффициентами ai и bk выражается через рациональные функции, логарифмы и арктангенсы."

Матов А какая тогда она по вашему , линейная , квадратная ?

anod2016 показательная функция

Матов ладно , с вам спорить , думайте сами

Матов присутствие логарифма полностью исключается определением рациональной функции" Интеграл от данной функций всегда будет с логарифмом

anod2016 нет, подставьте например, a=1, b=1, c=-1, логарифма не будет

Матов хорошо , сейчас давайте я напишу более подробно , если вы не поняли

anod2016 а что подробнее?

Матов решение

Answers & Comments

Verified answer

tex]...

tex predstavlyaet soboj racionalnuyu funkciyu ya ne predstavlyayu chto nuzhno mne dok

kakoj zakon otrazhaet vliyanie prirody i koncentracii reagiruyushih veshestv na skoro

tex]...

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social