mathgenius
X≠0 y≠0 z≠0 Можно воспользоваться известной формулой возведения в квадрат 3 членов: (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc она тут очень кстате. Возведем его в квадрат: xy/z +xz/y +yz/x +2|x|+2|y|+2|z|=9 В силу положительности каждого из выражений xy/z xz/y yz/x тк они под знаком корня xy/z +xz/y +yz/x>0 9-2*(|x|+|y|+|z|)>0 Положим что хотя бы одно из выражений |x|, |y| ,|z| больше 2 То минимальное значение значение выражения. 2*(|x|+|y| +|z|)=2*(1+1+3)=10 но 9-10<0 НЕВОЗМОЖНО. А если уже два слагаемых более 2 и более то и подавно. То есть все решения нужно искать на интервале x=+-1 +-2 y=+-1 +-2 z=+-1 +-1 Сразу отметим что не может быть 2 значений более 1 тк 2* (1+2+2)=10 Если одно из выражений 2 а другие по 1 по модулю то получим. 2√2 +√2/2=3 неверно ТО решения нужно искать на промежутке: x=+-1 y=+-1 z=+-1 Не трудно убедится что тут решения: x=y=z=1 x=y=-1 z=1 x=z=-1 y=1 z=y=-1 x=1
2 votes Thanks 1
mathgenius
Ой нет ребят не верно :( удаляйте там знак не тот :(
Answers & Comments
Можно воспользоваться известной формулой возведения в квадрат 3 членов:
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc она тут очень кстате. Возведем его в квадрат:
xy/z +xz/y +yz/x +2|x|+2|y|+2|z|=9
В силу положительности каждого из выражений xy/z xz/y yz/x тк они под знаком корня
xy/z +xz/y +yz/x>0
9-2*(|x|+|y|+|z|)>0
Положим что хотя бы одно из выражений |x|, |y| ,|z| больше 2
То минимальное значение значение выражения.
2*(|x|+|y| +|z|)=2*(1+1+3)=10
но 9-10<0 НЕВОЗМОЖНО.
А если уже два слагаемых более 2 и более то и подавно.
То есть все решения нужно искать на интервале
x=+-1 +-2 y=+-1 +-2 z=+-1 +-1
Сразу отметим что не может быть 2 значений более 1 тк 2* (1+2+2)=10
Если одно из выражений 2 а другие по 1 по модулю то получим.
2√2 +√2/2=3 неверно
ТО решения нужно искать на промежутке:
x=+-1 y=+-1 z=+-1
Не трудно убедится что тут решения:
x=y=z=1
x=y=-1 z=1
x=z=-1 y=1
z=y=-1 x=1