Рассматриваются все квадратные уравнения вида [tex] x^{2} +px+q=0 [/tex] с целыми коэффициентами, у которых [tex]p+q=218[/tex]. Сколько таких уравнений имеют целые корни?
Щедрая награда,давайте, поторопитесь)
Щедрая награда,давайте, поторопитесь)
More Questions From This User See All
Answers & Comments
Verified answer
Пусть x₁ и x₂ – целые корни трехчлена x²+px+q.p+q= 218.
По теореме Виета
x₁+x₂=-p,
x₁x₂=q
или
p= - (x₁+x₂), q=x₁x₂
р+q=-(x₁+x₂)+x₁x₂=-x₁-x₂+x₁x₂+1-1= (x₁–1)( x₂–1)–1
(x₁–1)(x₂–1)-1=218
(x₁-1)(x₂-1)=219
Так как
219=1·219=(-1)·(-219)
других множителей нет, 219 - простое число
Итак, возможны два варианта
1)
х₁-1 =1 и х₂ -1 = 219
х₁=2 и х₂ =220,
Уравнение
х² -222х + 440=0
имеет два целых корня и р+q=-222+440=218
2)
х₁-1 =-1 и х₂ -1 = -219
х₁=0 и х₂ = -218,
Уравнение
х²+218х =0
имеет два целых корня и р+q=218+0=218
Ответ два уравнения.