Пожалуйста, решите уравнение cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = -[tex]\frac{1}{2}[/tex] Спасибо большое.. Created by АнанасикЮля. matematika-ru

Будем пользоваться следующей формулой:___________________________________Сгруппируем первый с последним и оставшиеся:, вынесем общий множитель: ; Умножим и поделим на : ;Получили уравнение: ; Теперь ; Итак,

tex] Спасибо большое...

АнанасикЮля @АнанасикЮля

July 2022 1 3 Report

Пожалуйста, решите уравнение
cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = -[tex]\frac{1}{2}[/tex]

Спасибо большое.

Answers & Comments

Guerrino

Будем пользоваться следующей формулой:

$\boxed{\cos x+\cos y=2\cos \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}}$

___________________________________

Сгруппируем первый с последним и оставшиеся:

$\cos x+\cos4x+\cos2x+\cos3x=2\cos\frac{5x}{2}\cos\frac{3x}{2}+2\cos\frac{5x}{2}\cos \frac{x}{2}$ , вынесем общий множитель: $2\cos\frac{5x}{2}(\cos\frac{3x}{2}+\cos\frac{x}{2})=2\cos\frac{5x}{2}\times2\cos x\cos\frac{x}{2}$ ; Умножим и поделим на $\sin\frac{x}{2}$ : $\frac{2\cos\frac{5x}{2}\cos x\sin x}{\sin\frac{x}{2} }=\frac{\cos\frac{5x}{2}\sin2x }{\sin\frac{x}{2} }$ ;

Получили уравнение: $\frac{\cos\frac{5x}{2}\sin2x }{\sin\frac{x}{2} }=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{2\cos\frac{5x}{2}\sin2x }{\sin\frac{x}{2} }=-1$ ; Теперь

$2\cos\frac{5x}{2}\sin2x=\sin\frac{9x}{2}-\sin\frac{x}{2}$ ; Итак, $\frac{\sin\frac{9x}{2}-\sin\frac{x}{2} }{\sin\frac{x}{2} }=-1\Leftrightarrow \frac{\sin\frac{9x}{2} }{\sin\frac{x}{2} }=0\Leftrightarrow x=\frac{2\pi k}{9},\; k\in\mathbb{Z}$

4 votes Thanks 2

АнанасикЮля Спасибо огромное, не знала, с чего начать. У меня ещё вопрос. Там же должно быть ограничение на х, потому что в знаменателе синус? Тогда k не равно 9n, где n целое число (из множества корней sin х/2)

Guerrino да, с равнозначностью я поторопился

Answers & Comments

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social