2³+....+(n+1)³=1³+2³+...+n³+3(1²+2²+...+n²)+3(1+2+...+n) + n
(n+1)³=3(1+2+...+n²) + (3n(n+1))/2 + n + 1
3(1+2+...+n²)=(n+1)³-(3n(n+1))/2 -(n+1)
3(1+2+...+n²)=(n+1)((n+1)²- 3n/2 - 1)
3(1+2+...+n²)=(n+1)((2n²+n)/2)
1+2+...+n² =n(n+1)(2n+1)/6
2 votes Thanks 1
VоЛk
Можете объяснить решение между первой и второй строчкой после "сложив равенства,..", пожалуйста?
Аноним2281337
В левой части сумма (n+1) кубов, а слева сумма кубов, утроенная сумма квадратов и первых степеней и должно быть + n
Аноним2281337
Уже исправил. Обычное сложение в столбик
Аноним2281337
А, вы про другую. Сумму кубов перенес влево, справа остается утр. сумма квадратов, сумму первых степеней расписал через арифм. прогрессию, кубы уничтожаются, кроме 1³, и остается n
Answers & Comments
Рассмотрим (k+1)³ при k = 1, 2, ..., n:
2³ = 1³+3*1²+3*1+1
3³ = 2³+3*2²+3*2+1
......................................
(n+1)³=n³+3n²+3n+1
Сложив эти равенства, получим
2³+....+(n+1)³=1³+2³+...+n³+3(1²+2²+...+n²)+3(1+2+...+n) + n
(n+1)³=3(1+2+...+n²) + (3n(n+1))/2 + n + 1
3(1+2+...+n²)=(n+1)³-(3n(n+1))/2 -(n+1)
3(1+2+...+n²)=(n+1)((n+1)²- 3n/2 - 1)
3(1+2+...+n²)=(n+1)((2n²+n)/2)
1+2+...+n² = n(n+1)(2n+1)/6