tex] У меня сомнения, что я верно интерпретировал условие задачи. Прошу мнение с...

August 2022 1 58 Report

Поезд состоит из восьми вагонов. Каждый из пяти пассажиров выбирает себе вагон наугад. Сколькими способами они могут выбрать вагоны так, чтобы все пассажиры оказались не более чем в трех вагонах.

В книге ответ: [tex]13608=2^{3}*3^{5}*7[/tex]

Моя попытка: 1) я ищу сколько есть способов всех пассажиров рассадить в какой-то один вагон 2) -//- в какие-то два вагона 3) -//- в какие-то три вагона 4) суммирую результаты первых трех пунктов.

детально пункт 1:
выбираю 7 вагонов пыстыми как [tex]C_{8}^{7}[/tex]
размещаю 5 пассажиров в оставшийся вагон как [tex]C_{5+1-1}^{5}[/tex]
(размещаю не различимых пассажиров по различимым вагонам)
итого [tex]C_{8}^{7}*C_{5}^5=8*1=8[/tex]
пункт 2:
аналогично [tex]C_{8}^{6}*C_{5+2-1}^5=35*6=210[/tex]
пункт 3:
аналогично [tex]C_{8}^{5}*C_{5+3-1}^5=56*21=1176[/tex]

Итого [tex]8+210+1176=1394[/tex]

У меня сомнения, что я верно интерпретировал условие задачи. Прошу мнение сведующего человека. Спрашиваю другие решения с объяснением. Возможно у кого-то совпадет с ответом в книге. Возможно кто-то докажет, что в книге ответ не верен.

Answers & Comments

Kuкush

Verified answer

Update
Отдельно рассмотрим случае, когда занят 1 вагон, 2 вагона и 3 вагона.
1) Количество способов, при которых все 5 пассажиров в одном вагоне равно
$C_8^1=8$ . Рассадка внутри вагона - единственная.
2) Количество способов выбрать 2 вагона для рассадки (обязательно, чтобы оба выбранных вагона были заняты, так как случаи занятия только одного вагона уже рассмотрены) равно
$C_8^2=28$
Между выбранными двумя вагонам каждый пассажир может делать выбор независимо, кроме случаев, когда один из вагонов оказывается пустым.
Значит, таких способов рассадки - $2^5-2=30$ ,
всего способов рассадки, при которых заняты ровно 2 вагона: 28*30=840
3) Количество способов, которыми можно выбрать 3 вагона, в которых будут размещаться пассажиры $C_8^3=56$
Далее, для каждого выбранного варианта трех вагонов каждый из 5 пассажиров может выбрать любой вагон, то есть, для каждого пассажира есть выбор из трех вагонов. Всего вариантов разных выборов - $3^5$
Но мы должны вычесть все способы рассадки, при которых остаются пустыми один или 2 вагона.
Количество способов, при котором остаются пустыми 2 вагона равно 3 (ровно один способ для каждого занятого вагона или $C_3^2*1=3$ )
Количество способов, при котором пустым остается 1 вагон - $C_3^1*(2^5-2)=3*30=90$
То есть, количество способов, при которых заняты ровно 3 вагона, равно
56*(243-3-90)=56*150=8400
4) Значит, всего способов
8+840+8400=9248=2^5*17^2.

3 votes Thanks 4

xtoto Спасибо, буду ожидать, и так же сам прогоню, сейчас уходить нужно. И так, у нас появилось третье решение) Вчитаюсь в него, как вернусь.

xtoto Сейчас наверняка точнее! "кроме случаев, когда один из вагонов оказывается пустым" - учтено) Спасибо! у меня это было не учтено. Выглядит теперь действительно правдоподобно, третье решение - содержит иде моего решения и вашого первого решения. Мне сейчс кажется, что так и должно быть. Осталось проверить через полный перебор, закодить.

Universalka Мне кажется, здесь все намного проще. Пассажиры должны в итоге находиться не более чем в трех вагонах. Три вагона можно выбрать C(8,3) = 8!/3!*5! = 6*7*8/6 = 7*8 = 2^3*7 способами. Число рассадки пятерых пассажиров по трем вагонам равно размещению с повторениями A(3,8) = 3^5.

Universalka Следовательно, по правилу произведения, общее количество способов при которых пассажиры будут находиться в не более, чем трех вагонах будет C(8,3)*A(3,8) = 2^3*3^5*7. Сюда, естественно, войдут и случаи, когда какой-то один из вагонов остался пустым, или какие-то два вагона остались пустыми.

Kuкush Это было мое первое решение :) Оно неверно, так как, например, рассадка, в которой выбраны вагоны 1,2,3 и все пассажиры сели во второй вагон, равна рассадке, когда выбраны вагоны 2,3,4 и опять все пассажиры сели во второй вагон. А при Вашем решении эти рассадки разные.

xtoto Дискусия открыта)

Universalka Выходит, на те же грабли наступили. Значит, надо думать, видимо решение сложнее, чем представлял себе автор задачника.

xtoto Именно так)

Kuкush Текущее мое решение мне представляется верным :)

xtoto Как и мне:) Охота проверить точно

Answers & Comments

Verified answer

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social