Готов отдать все свои пункты за правильное решение следующей задачи:
Докажите, что для любых положительных a и b выполнено неравенство:
[tex](a+b)^3\geq \frac{27}4a^2b[/tex]
Задача несложная, но тем не менее...
Edit: и ещё вопрос, найдите все положительные значения a и b, при которых неравенство обращается в равенство (естественно с доказательством).
Answers & Comments
Verified answer
Разделим обе части указанного неравенства на положит. число a^3 и сделаем замену переменной: t = b/a > 0:
Раскроем куб суммы и домножив на 4, получим:
Многочлен в левой части раскладывается на множители по стандартной процедуре. Подбором устанавливается целый корень: -4, далее делением многочлена на (t+4) получим (2t-1)^2 и полное разложение имеет вид:
Видим, что при t>0 указанное неравенство верно, что и требовалось доказать.
Равенство 0 достигается при t = 1/2, то есть при любых положительных a и b, отвечающих условию: a = 2b