По определению предела, для всякого положительного ε найдется номер N, что для всех номеров n, бОльших N, верно, что .
Заметим, что для всякого натурального n. Тогда, если , или (решая неравенство относительно n) , то, взяв в качестве N целую часть числа , получим, что . Резюмируя: научились для всякого положительного ε находить номер N (в качестве N можно взять целую часть числа ), что для всех номеров n, бОльших N, выполняется неравенство . А это и значит, что предел равен нулю.
Интуитивно это можно объяснить так: увеличивая номер n, получаем все меньшее и меньшее число, причем оно всегда больше нуля, но его можно сделать очень маленьким.
Аналогично, докажем, что
По определению предела, для всякого положительного ε найдется номер N, что для всех номеров n, бОльших N, верно, что .
Заметим, что . Тогда, если , или (решая неравенство относительно n) , то, взяв в качестве N целую часть числа , получим, что . Резюмируя: научились для всякого положительного ε находить номер N (в качестве N можно взять целую часть числа ), что для всех номеров n, бОльших N, выполняется неравенство . А это и значит, что предел равен единице.
Answers & Comments
Пошаговое объяснение:
По определению предела, для всякого положительного ε найдется номер N, что для всех номеров n, бОльших N, верно, что
.
Заметим, что
для всякого натурального n. Тогда, если 
, или (решая неравенство относительно n) ![n >\sqrt[3]{\frac{15}{\varepsilon}}](https://tex.z-dn.net/?f=n%20%3E%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Cfrac%7B15%7D%7B%5Cvarepsilon%7D%7D "n >\sqrt[3]{\frac{15}{\varepsilon}}")
, то, взяв в качестве N целую часть числа ![\sqrt[3]{\frac{15}{\varepsilon}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Cfrac%7B15%7D%7B%5Cvarepsilon%7D%7D "\sqrt[3]{\frac{15}{\varepsilon}}")
, получим, что 
. Резюмируя: научились для всякого положительного ε находить номер N (в качестве N можно взять целую часть числа ![\sqrt[3]{\frac{15}{\varepsilon}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Cfrac%7B15%7D%7B%5Cvarepsilon%7D%7D "\sqrt[3]{\frac{15}{\varepsilon}}")
), что для всех номеров n, бОльших N, выполняется неравенство 
. А это и значит, что предел равен нулю.
Интуитивно это можно объяснить так: увеличивая номер n, получаем все меньшее и меньшее число, причем оно всегда больше нуля, но его можно сделать очень маленьким.
Аналогично, докажем, что
По определению предела, для всякого положительного ε найдется номер N, что для всех номеров n, бОльших N, верно, что
.
Заметим, что
. Тогда, если 
, или (решая неравенство относительно n) 
, то, взяв в качестве N целую часть числа 
, получим, что 
. Резюмируя: научились для всякого положительного ε находить номер N (в качестве N можно взять целую часть числа 
), что для всех номеров n, бОльших N, выполняется неравенство 
. А это и значит, что предел равен единице.