Решить дифференциальное уравнение, найти общее решение: y'+y= x[tex]\sqrt{y}[/tex]. Created by Грамотныйпарень. algebra-ru

Введём замену , тогда получаемУмножим обе части уравнения на , получимВыполним обратную замену

tex]...

Грамотныйпарень @Грамотныйпарень

August 2022 1 5 Report

Решить дифференциальное уравнение, найти общее решение:
y'+y= x[tex]\sqrt{y}[/tex]

Answers & Comments

Artem112

Verified answer

$y'+y=x\sqrt{y}~~~~|:2\sqrt{y}\\ \\ \dfrac{y'}{2\sqrt{y}}+\dfrac{\sqrt{y}}{2}=\dfrac{x}{2}$

Введём замену $\sqrt{y}=t$ , тогда получаем

$t'+\dfrac{t}{2}=\dfrac{x}{2}$

Умножим обе части уравнения на $e^{\int \frac{dx}{2}}=e^{\frac{x}{2}}$ , получим

$t'\cdot e^{\frac{x}{2}}+\dfrac{t}{2}\cdot e^{\frac{x}{2}}=\dfrac{x}{2}\cdot e^{\frac{x}{2}}\\ \\ \\ \Big(t\cdot e^{\frac{x}{2}}\Big)'=\dfrac{x}{2}\cdot e^{\frac{x}{2}}\\ \\ \displaystyle t\cdot e^{\frac{x}{2}}=\int \dfrac{x}{2}e^{\frac{x}{2}}dx=\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}u=x;~~~ du=dx\\ \\ dv=e^{\frac{x}{2}}dx;~~~ v=2e^{\frac{x}{2}}\end{array}\right|=2xe^{\frac{x}{2}}-2\int e^{\frac{x}{2}}dx=\\ \\ \\ =2xe^{\frac{x}{2}}-4e^{\frac{x}{2}}+C=2e^{\frac{x}{2}}\Big(x-2\Big)+C$

$t=2x-4+Ce^{-\frac{x}{2}}$

Выполним обратную замену

$\sqrt{y}=2x-4+Ce^{-\frac{x}{2}}\\ \\ \boxed{y=\left(2x-4+Ce^{-\frac{x}{2}}\right)^2}$

1 votes Thanks 1

Answers & Comments

Verified answer

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social