artalex74
Данное уравнение удобно решать методом оценки (т.е. сравнения области значений функций, стоящих в левой и правой части уравнения). Находим О.Д.З.: 1) Рассмотрим функцию на отрезке [1; 2]. Подкоренное выражение - квадратичная функция, график которой - парабола с ветвями вниз. Значит, данное выражение может принимать наибольшее значение в вершине параболы: Наименьшее значение, равное √3, f(x) принимает при х=1.
2) Рассмотрим функцию на отрезке [1; 2]. Подкоренное выражение - квадратичная функция, график которой - парабола с ветвями вниз. Значит, данное выражение может принимать наибольшее значение в вершине параболы: Наименьшее значение, равное 0, g(x) принимает при х=1.
3) Левая часть исходного уравнения - сумма f(x) + g(x) на отрезке [1; 2]. f(2)+g(2)= 2+1 = 3 - наибольшее значение левой части исходного уравнения, которое достигается при х = 2. f(1)+g(1) = √3 + 0 = √3 - наименьшее значение суммы (при х=1).
Итак, область значений левой части есть [√3; 3]
4) Рассмотрим функцию на отрезке [1; 2]. Подкоренное выражение - квадратичная функция, график которой - парабола с ветвями вниз. Значит, данное выражение может принимать наибольшее значение в вершине параболы: Наименьшее значение, равное 3, h(x) принимает при х=2.
Итак, область значений правой части есть [3; 4].
5) Вывод. Корни уравнения существуют при х∈[1; 2]. Левая часть имеет значения из [√3; 3], а правая - из [3; 4]. Видим, что левая и правая части исходного уравнения равны 3 при х=2. Ни при каких других значениях х левая и правая части не имеют общих значений. Значит, х=2 - единственный корень. Проверка: равенство верное. Ответ: 2.
Answers & Comments
Находим О.Д.З.:
1) Рассмотрим функцию
Подкоренное выражение - квадратичная функция, график которой - парабола с ветвями вниз. Значит, данное выражение может принимать наибольшее значение в вершине параболы:
Наименьшее значение, равное √3, f(x) принимает при х=1.
2) Рассмотрим функцию
Подкоренное выражение - квадратичная функция, график которой - парабола с ветвями вниз. Значит, данное выражение может принимать наибольшее значение в вершине параболы:
Наименьшее значение, равное 0, g(x) принимает при х=1.
3) Левая часть исходного уравнения - сумма f(x) + g(x) на отрезке [1; 2].
f(2)+g(2)= 2+1 = 3 - наибольшее значение левой части исходного уравнения, которое достигается при х = 2.
f(1)+g(1) = √3 + 0 = √3 - наименьшее значение суммы (при х=1).
Итак, область значений левой части есть [√3; 3]
4) Рассмотрим функцию
Подкоренное выражение - квадратичная функция, график которой - парабола с ветвями вниз. Значит, данное выражение может принимать наибольшее значение в вершине параболы:
Наименьшее значение, равное 3, h(x) принимает при х=2.
Итак, область значений правой части есть [3; 4].
5) Вывод. Корни уравнения существуют при х∈[1; 2].
Левая часть имеет значения из [√3; 3], а правая - из [3; 4].
Видим, что левая и правая части исходного уравнения равны 3 при х=2.
Ни при каких других значениях х левая и правая части не имеют общих значений.
Значит, х=2 - единственный корень.
Проверка:
равенство верное.
Ответ: 2.