Verified answer

1) Пусть cos x > 0, тогда |cos x| = cos x
sin x > √3*cos x - √2
Делим всё на 2.
1/2*sin x > √3/2*cos x - √2/2
√2/2 > √3/2*cos x - 1/2*sin x
√2/2 > cos x*cos(pi/6) - sin x*sin(pi/6)
cos (x + pi/6) < √2/2
pi/4 + 2pi*k < x + pi/6 < 7pi/4 + 2pi*k
На 1 рис. показано, почему это так.
Интересующая нас часть круга выделена жирной линией.
pi/4 - pi/6 + 2pi*k < x < 7pi/4 - pi/6 + 2pi*k
3pi/12 - 2pi/12 + 2pi*k < x < 21pi/12 - 2pi/12 + 2pi*k
x ∈ (pi/12 + 2pi*k; 19pi/12 + 2pi*k)
С учетом условия cos x >= 0 получаем:
x ∈ (pi/12 + 2pi*k; pi/2 + 2pi*k] U [3pi/2 + 2pi*k; 19pi/12 + 2pi*k)

2) Пусть cos x < 0, тогда |cos x| = -cos x
sin x > -√3*cos x - √2
Делим всё на 2.
1/2*sin x > -√3/2*cos x - √2/2
√3/2*cos x + 1/2*sin x > -√2/2
cos x*cos(pi/6) + sin x*sin(pi/6) > -√2/2
cos (x - pi/6) > -√2/2
-3pi/4 + 2pi*k < x - pi/6 < 3pi/4 + 2pi*k
На 2 рис. показано, почему это так.
-3pi/4 + pi/6 + 2pi*k < x < 3pi/4 + pi/6 + 2pi*k
-9pi/12 + 2pi/12 + 2pi*k < x < 9pi/12 + 2pi/12 + 2pi*k
x ∈ (-7pi/12 + 2pi*k; 11pi/12 + 2pi*k)
С учетом условия cos x < 0
x ∈ (-7pi/12 + 2pi*k; -pi/2 + 2pi*k) U (pi/2 + 2pi*k; 11pi/12 + 2pi*k)
Если свести оба случая в один ответ, то получится:
x € (-7pi/12 + 2pi*k; -5pi/12 + 2pi*k) U (pi/12 + 2pi*k; 11pi/12 + 2pi*k)