Решите уравнение: [tex]x^3-[x]=3[/tex], где [tex][x][/tex] - целая часть числа [tex]x[/tex]. Created by SkalikS. algebra-ru

Заметим, что , то есть — целое число. Это означает, что , где ; Имеем: ; Теперь надо отметить, что число лежит между двумя кубами: и ; Пусть . Тогда ; Но , тогда . Решим это неравенство:Докажем, что для решений нет. Действительно, касательная к в точке имеет вид ; Более того, для выпукла вниз (); Значит, для ; Осталось проверить значение 1, которое подходит.Значит, и ; Если , то аналогично и неравенство уже справедливо для всех ; Но поэтому , что не имеет решений при отриц. . Здесь аналогично. Рассмотрим касательную в точке ; Тогда она имеет вид: ; По выпуклости вверх на интервале можно записать неравенство для : ; Тем самым, остается проверить значения и . Они не подходят, откуда заключаем, что решение единственно. Ответ:

tex]...

SkalikS @SkalikS

August 2022 1 32 Report

Решите уравнение:
[tex]x^3-[x]=3[/tex],
где [tex][x][/tex] - целая часть числа [tex]x[/tex]

Answers & Comments

Guerrino

Verified answer

Заметим, что $x^{3}=3+[x]$ , то есть $x^3$ — целое число. Это означает, что $x=\sqrt[3]{m},\; m\in\mathbb{Z}$ , где $m=x^3$ ; Имеем: $m=3+[\sqrt[3]{m}]$ ; Теперь надо отметить, что число $m$ лежит между двумя кубами: $n^{3}$ и $(n+1)^3$ ; Пусть $m>0$ . Тогда $[\sqrt[3]{m}]=n$ ; Но $m\geq n^3$ , тогда $3+n\geq n^3$ . Решим это неравенство:

Докажем, что для $n\geq 2$ решений нет. Действительно, касательная к $x^3$ в точке $x_{0}=2$ имеет вид $12(x-2)+8$ ; Более того, для $x>0$ $x^3$ выпукла вниз ( $(x^3)''=6x$ ); Значит, для $n\geq 2$ $n^3\geq 12(n-2)+8>n+3$ ; Осталось проверить значение 1, которое подходит.

Значит, $m=4$ и $x=\sqrt[3]{4}$ ; Если $m\leq 0$ , то аналогично $n=[\sqrt[3]{m} ]$ и неравенство уже справедливо для всех $n\leq 0$ ; Но $m\leq (n+1)^3$ поэтому $3+n \leq (n+1)^3$ , что не имеет решений при отриц. $n$ . Здесь аналогично. Рассмотрим касательную в точке $-1-\frac{1}{\sqrt{3}}$ ; Тогда она имеет вид: $x+\frac{1}{\sqrt{3}}+1-(\frac{1}{\sqrt{3}})$ ; По выпуклости вверх на интервале $(-\infty,\; -1)$ можно записать неравенство для $n\leq -1-\frac{1}{\sqrt{3}}$ : $(n+1)^3\leq x+\frac{1}{\sqrt{3}}+1-(\frac{1}{\sqrt{3}})$ ; Тем самым, остается проверить значения $n=-1$ и $n=0$ . Они не подходят, откуда заключаем, что решение единственно.

Ответ: $x=\sqrt[3]{4}$

4 votes Thanks 1

SkalikS Не понятно, почему "не имеет решений при отриц. n", как и для положительных. Почему например при n=100 или n=-100 не сработает. Дополните пожалуйста

Guerrino функция монотонна. подставьте 0 и в отрицательном случае все станет ясно. это не ключевой момент решения

SkalikS Напротив, момент ключевой, т.к. позволяет подобрать ответ и значения на которых перестаёт работать + изначальная функция - ни чуть немонотонна

Guerrino я о кубе

SkalikS Ну так отрази это в решении)

SkalikS При оценки такой работы, за необоснование этого факта - из 7 баллов могли бы дать только 3-4

Guerrino так, еще один недочет: 1/sqrt{3} - тот, что в скобках, стоит в третьей степени

Answers & Comments

Verified answer

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social