Решить универсальным методом тригонометрической подстановки:
[tex]\int\limits^ {} \, \frac{dx}{2sinx-3cosx}[/tex]
----
[tex]t=tg\frac{x}{2} \\sinx=\frac{2t}{1+t^{2} } \\cosx=\frac{1-t^{2} }{1+t^{2} } \\\\dx=\frac{2dt}{1+t^{2} }[/tex]
....
[tex]\int\limits^ {} \, \frac{dx}{2sinx-3cosx}[/tex]
----
[tex]t=tg\frac{x}{2} \\sinx=\frac{2t}{1+t^{2} } \\cosx=\frac{1-t^{2} }{1+t^{2} } \\\\dx=\frac{2dt}{1+t^{2} }[/tex]
....
More Questions From This User See All
Answers & Comments
Согласно формулам тригонометрической подстановки имеем:
int (2dt/(1+t^2) / ( ( 4t-3+3t^2)/(1+t^2) ) )=2*int(dt/(3t^2+4t-3) )=
=2*int(3*dt/(9t^2+12t-9) )=2*int(3*dt/ ( (3t+2)^2 -13) )
Заметим что подынтегральное выражение представляет собой выражение вида:
1/(a^2-b^2)= 1/(a-b)*(a+b)= 1/2b * (1/(a-b) -1/(a+b))
a=3t+2 b=√13 1/2b=1/2√13
1/√13 *int ( ( 3/(3t+2-√13) -3/(3t+2+√13) *dt )= 1√13 * (ln(3t+2-√13) -ln(3t+2+√13) +c= =ln( (3tg(x/2)+2-√13)/(3tg(x/2) +2+√13) ) /√13 +c
Ответ: ln( (3tg(x/2)+2-√13)/(3tg(x/2) +2+√13) ) /√13 +c