Найдите наибольшее значение величины х+у, если [tex]x^{2} +y^2\leq 2020x+2020y[/tex]. Created by elizavetkaredko. matematika-ru

, то есть это круг (с границей), с центром в точке и радиусом . Среди точек этого множества требуется найти такие, для которых принимает наибольшее значение. Понятно также, что никакая точка внутренности не является искомой, поскольку ее можно сдвинуть на вектор для некоторого . Потому точки ищем на границе.Рассмотрим прямую . Требуется максимизировать , то есть увеличивать это значение до тех пор, пока эта прямая имеет пересечения с окружностью. Предельный случай -- касание. Имеем: , , откуда . Тогда и .

tex]...

elizavetkaredko @elizavetkaredko

August 2022 1 48 Report

Найдите наибольшее значение величины х+у, если [tex]x^{2} +y^2\leq 2020x+2020y[/tex]

Answers & Comments

Guerrino

$x^2+y^2\leq 2020x+2020y \Leftrightarrow (x- 1010)^2+(y-1010)^2\leq 2\cdot 1010^2$ , то есть это круг (с границей), с центром в точке $(1010,1010)$ и радиусом $\sqrt{2}\cdot 1010$ . Среди точек этого множества требуется найти такие, для которых $x+y$ принимает наибольшее значение. Понятно также, что никакая точка внутренности не является искомой, поскольку ее можно сдвинуть на вектор $(\varepsilon,\varepsilon)$ для некоторого $\varepsilon>0$ . Потому точки ищем на границе.

Рассмотрим прямую $x+y=a$ . Требуется максимизировать $a$ , то есть увеличивать это значение до тех пор, пока эта прямая имеет пересечения с окружностью. Предельный случай -- касание. Имеем: $y = \sqrt{r^2 - (x-1010)^2}+1010$ , $y' = -\dfrac{2(x-1010)}{2\sqrt{r^2-(x-1010)^2}} = -1 \Leftrightarrow x-1010 = \sqrt{r^2-(x-1010)^2}$ , откуда $x=2020$ . Тогда $y=2020$ и $a = 4040$ .