Решить уравнение [tex]\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}=3-x\\[/tex]. Created by matveygenij. algebra-ru

tex]...

igundane

$\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}=3-x\\f\left ( x \right )=\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}\\g\left ( x \right )=3-x$

Так как функция f(x) монотонно возрастает,а g(x) монотонно убывает,то корень только один,который угадывается

x=1

3 votes Thanks 2

igundane Советую потренироваться использовать монотонность,ибо могут попасться такие задания,где нужно будет рассматривать промежутки возрастания и убывания,чтобы красиво решить. Если не чувствовать этого,то будет сложно...

matveygenij Спасибо

OneGyrus

Ответ: 1

Объяснение:

$\sqrt{x-1} +\sqrt{x+3} = 3-x$

$x\geq 1$

Поскольку левая часть уравнения монотонно возрастает при $x\geq 1$ , то

$\sqrt{x-1} +\sqrt{x+3} \geq \sqrt{1-1} +\sqrt{1+3} = 2$

С другой стороны, левая часть равенства монотонно убывает при $x\geq 1$ :

$3-x \leq 3-1 = 2$

Но такое возможно только в том случае, когда обе части уравнения равны $2$ .

$3-x= 2\\x=1$

Подставим $x=1$ в левую часть уравнения:

$\sqrt{1-1} +\sqrt{1+3}=2$

Верно, значит $x=1$ единственное решение.

Этот же результат можно получить подбором:

$f(x) = \sqrt{x-1} +\sqrt{x+3}+x-3$

Поскольку данная функция монотонно возрастает, то может пересечь ось x в не более чем одной точке, иначе говоря, уравнение:

$f(x) = 0$

имеет не более чем одно решение, которое нетрудно найти подбором:

$x=1$

3 votes Thanks 2

matveygenij Спасибо

LFP ОДЗ неверное: еще требуется 3-х>=0 --> 1<=х<=3

OneGyrus Да согласна , надо было убрать слово ОДЗ и оставить просто 1<=x . x<=3 нам попросту ненужно для решения.

OneGyrus Но теперь не исправлю

OneGyrus А вообще x<=3

OneGyrus Это сокрее ДУ - дополнительное условие, но в некоторых источниках его относят к тому же ОДЗ

OneGyrus ДУ имеет четкое отличие от ОДЗ. ДУ - это не всегда cамое мощное условие. Если покопаться, то можно поставить более строгое ограничение : 3-x>2 ; Вот это уже можно считать частью полноправного ОДЗ. А если неравенство не самое мощное из возможных, то считать это ОДЗ по-моему не совсем справедливо. А вот как ДУ вполне можно.

OneGyrus *3-x>=2

OneGyrus ОДЗ

OneGyrus Но, то что слово ОДЗ надо убрать, тут согласна, отметьте нарушение и поправлю.

Answers & Comments

kg99078eb1d6fadbc7ca077cc6d62080a7 60624

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social