Помогите, пожалуйста!!!! Вычислить интеграл: [tex] \int\limits { \frac{x+2}{x^3-2x^2+2x} } \, dx [/tex]. Created by martiemiliya. matematika-ru

tex]...

martiemiliya @martiemiliya

July 2022 1 30 Report

Помогите, пожалуйста!!!!
Вычислить интеграл:
[tex] \int\limits { \frac{x+2}{x^3-2x^2+2x} } \, dx [/tex]

Answers & Comments

nafanya2014

Verified answer

Разложим подинтегральную дробь на простейшие дроби.
Для этого разложим знаменатель на множители
х³-2х²+2х=х(х²-2х+2)
Дискриминант квадратного трехчлена х²-2х+2 отрицательный, поэтому на множители не раскладывается
$\frac{x+2}{x(x^2-2x+2)} = \frac{A}{x} + \frac{Mx+N}{x^2-2x+2}$
Приводим к общему знаменателю правую часть и приравниваем только числители
х+2=А·(х²-2х+2)+Mx²+Nx
х+2=(А+M)x²+(N-2A)x+2A
Слева многочлен первой степени, но его можно записать и как многочлен второй степени, если приписать 0·х²
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа
A+M=0
N-2A=1
2A=2

A=1
M=-1
N=1+2A=1+2=3

$1)\int \frac{dx}{x}=ln|x|+C_1$
$2)\int \frac{(-x+3)}{x^2-2x+2} dx= \int \frac{(-x+3)}{(x^2-2x+1)+1} dx= \int \frac{(-x+3)}{(x-1)^2+1} dx=$
Замена переменной
(х-1)=t
x=t+1
dx=dt
$=\int \frac{(-(t+1)+3)}{t^2+1} dt=\int \frac{2-t}{t^2+1} dt=\int \frac{2}{t^2+1} dt-\int \frac{t}{t^2+1} dt= \\ \\ =2arctgt- \frac{1}{2}ln|t^2+1 |+C_2=
2arctg|x-1|- \frac{1}{2}ln|x^2-2x+2 |+C_2$
Ответ.
$ln|x|+C_1+2arctg|x-1|- \frac{1}{2}ln|x^2-2x+2 |+C_2= \\ \\ =ln|x|+2arctg|x-1|- \frac{1}{2}ln|x^2-2x+2 |+C$

2 votes Thanks 1

nafanya2014 Например, при х=1 3=А+М+ N

martiemiliya воот я также делала

martiemiliya брала х=1,чтобы проверить,что получится

nafanya2014 при х=-1 получите 1=5A+M-N

nafanya2014 A найдено, получите систему двух уравнений с двумя переменными M и N

martiemiliya ну вот я понимаю ..а может систему из них составить и найти поочередно эти коэффициентынет?

nafanya2014 Подставив А=1 получим два уравнения:1)3=1+M+N 2) 1=5+M-N п

nafanya2014 1)M+N=2; 2)M-N= - 4 Cложим 2M= -2; M= - 1

nafanya2014 N=2-M=2-(-1)=3

martiemiliya все,все я поняла,спасибо большое!!!)

Answers & Comments

Verified answer

pochemu galogeny znachitelno luchshe rastvoryayutsya v takih rastvoritelyah kak chetyryo

pomogite pozhalujsta sostavit programmu v paskale blok shema

1 zadacha pozhalujsta srochno reshite

pomogitepozhalujsta s programmoj v paskale blok shema

esli dvuznachnoe chislo razdelit na proizvedenie ego cifrto v chastnom poluchitsyab4b233f8d78b6e4d8357fb867f98c49a 58

tex pa otvet vyrazite v kubicheskih metrah

tex]...

tex i s mnogogrannika izobrazhennogo na risunke vse dvugrannye ugly mnogogrann

v treugolnike abc ugol s raven 36 gradusov a bissektrisy ad i be peresekayutsya

tex 2reshit uravnenie u 9y5cos2x 3najti ekstremumy funkcii z3x3y 9x

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social