[tex]\frac{1}{1*2} + \frac{1}{2*3} + \frac{1}{3*4} + ... + \frac{1}{n*(n+1)}[/tex]. Created by ujau. algebra-ru

tex]...

ujau @ujau

July 2022 1 8 Report

[tex]\frac{1}{1*2} + \frac{1}{2*3} + \frac{1}{3*4} + ... + \frac{1}{n*(n+1)}[/tex]

Answers & Comments

Матов

Verified answer

Выведем сумму рекурентным способом , то есть для начало примем $n=1\\
$ тогда сумма запишется в виде
$\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}= \frac{2}{n(n+2)}(1)\\
\frac{2}{n(n+2)}+\frac{1}{(n+2)(n+3)}= \frac{3}{n(n+3)}(2)\\
\frac{3}{n(n+3)}+\frac{1}{(n+3)(n+4)}=\frac{4}{n(n+4)}(3)$ теперь заметим что числитель и знаменатель взаимосвязаны соотношением
Пусть $z$ это конечная сумма , то есть какое то определенное число
то в общем в виде можно записать сумму как
$S_{n}=\frac{1}{1*2}+\frac{1}{2*3}+\frac{1}{3*4}.....+ \frac{1}{(n+z)(n+z+1)}\\
S_{n}=\frac{z+1}{n(n+z+1)}$
$S_{n}=\frac{n}{n+1}$

2 votes Thanks 2

Answers & Comments

Verified answer

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social