Разложить на простые дроби [tex] \frac{x}{x^3-1} [/tex]. Created by вкпа. algebra-ru

Раскладываем знаменатель на множители по формуле разности кубов:Попробуем выделить у дроби слагаемое вида: A / (x - 1):Домножаем на (x - 1):Подставляем x = 1. В этом случае второе слагаемое обратится в ноль, и в правой части останется только A.Найдём, что скрывается за многоточиями.Окончательно

tex]...

вкпа @вкпа

August 2022 1 36 Report

Разложить на простые дроби [tex] \frac{x}{x^3-1} [/tex]

Answers & Comments

nelle987

Verified answer

Раскладываем знаменатель на множители по формуле разности кубов:
$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$

Попробуем выделить у дроби слагаемое вида: A / (x - 1):
$\dfrac x{(x-1)(x^2+x+1)}=\dfrac A{x-1}+\cdots$

Домножаем на (x - 1):
$\dfrac x{x^2+x+1}=A+(x-1)(\cdots)$

Подставляем x = 1. В этом случае второе слагаемое обратится в ноль, и в правой части останется только A.
$A=\dfrac{1}{1^2+1+1}=\dfrac13$

Найдём, что скрывается за многоточиями.
$\cdots=\dfrac x{(x-1)(x^2+x+1)}-\dfrac{1/3}{x-1}=\dfrac{x-(x^2+x+1)/3}{(x-1)(x^2+x+1)}=\\=-\dfrac13\dfrac{x^2-2x+1}{(x-1)(x^2+x+1)}=-\dfrac13\dfrac{(x-1)^2}{(x-1)(x^2+x+1)}=\\=-\dfrac13\dfrac{x-1}{x^2+x+1}$

Окончательно
$\dfrac x{x^3-1}=\dfrac{1/3}{x-1}-\dfrac{\frac13(x-1)}{x^2+x+1}$

0 votes Thanks 0

Answers & Comments

Verified answer

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social