tex]...

red321 @red321

July 2022 1 52 Report

Найти определённый интеграл:
[tex]\int\limits^\frac{\pi}{4}_0\frac{dx}{cos^4x+sin^4x}[/tex]

Answers & Comments

NNNLLL54

Verified answer

Cначала читайте 1 часть, потом 2-ую. У меня не вставляется текст в конец 1 части.

$2)\; Q=\int_0^1(\frac{\frac{1}{2}}{t^2-\sqrt2t+1}+\frac{\frac{1}{2}}{t^2+\sqrt2t+1})dt=\frac{1}{2}\int _0^1(\frac{1}{(t-\frac{\sqrt2}{2})^2+\frac{1}{2}}+\frac{1}{(t+\frac{\sqrt2}{2})^2+1})dt=\\\\=\frac{1}{2}(\sqrt2arctg\frac{t-\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{1}{\sqrt2}}+\sqrt2arctg(\sqrt2t+1))|_0^1=\\\\=\frac{\sqrt2}{2}(arctg(\sqrt2-1)+arctg(\sqrt2+1))$

$1)\int _0^{\frac{\pi}{4}}\frac{dx}{cos^4x+sin^4x}=\int _0^{\frac{\pi}{4}}\frac{\frac{1}{cos^2x}\cdot \frac{dx}{cos^2x}}{1+tg^4x}=\int _0^{\frac{\pi}{4}}\frac{(1+tg^2x)d(tgx)}{1+tg^4x}=\\\\=[\, t=tgx,\; t_1=tg0=0,\; t_2=tg\frac{\pi}{4}=1\, ]=\int _0^1\frac{t^2+1}{t^4+1}dt=\int_0^1\frac{t^2+1}{(t^2+1)^2-2t^2}=\\\\=\int_0^1\frac{(t^2+1)dt}{(t^2+1-\sqrt2t)(t^2+1+\sqrt2t)}=Q\\\\\frac{t^2+1}{(t^2-\sqrt2t+1)(t^2+\sqrt2t+1)}=\frac{At+B}{t^2-\sqrt2t+1}+\frac{Ct+D}{t^2+\sqrt2t+1}$

$t^2+1=(At+B)(t^2+\sqrt2t+1)+(Ct+D)(t^2-\sqrt2t+1)$

t³ | 0=A+C                            A=-C
t² |  1=A√2+B-C√2+D            1=B+D-2√2C         1=1-2√2C    C=0, A=0
t   | 0=A+B√2+C-D√2            √2(B-D)=0              B=D
t^0| 1=B+D                             2B=1                     B=1/2=D

red321 спасибо. я почти также решил. только интеграл (t^2+1)/(t^4+1) по другом считал

NNNLLL54 А как вы считали?

red321 выносил t^2 в знаменателе и числителе. в знаменателе выделил полный квадрат(t-1/t)^2 +2. под дифференциал занёс t - 1/t и в результате получил d(t - 1/t)/((t-1/t)^2 +2) этот уже можно посчитать

NNNLLL54 Ясно

Answers & Comments

Verified answer

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social