Арифметическая и геометрическая прогрессия.
11 + 101 + 1001 + 10001 + 100...001 = ...
|_____|
n
Варианты ответа:
А. [tex] \frac{10^{n+1} + n - 10 }{9} [/tex]
Б. [tex] \frac{10^{n+2} + 9n - 1 }{9}[/tex]
В. [tex] \frac{10^{n+2} -10 }{9}[/tex]
Г. [tex] \frac{10^{n+1} -10 }{9}[/tex]
Д. [tex] \frac{10^{n+2} + 10n - 1 }{9}[/tex]
11 + 101 + 1001 + 10001 + 100...001 = ...
|_____|
n
Варианты ответа:
А. [tex] \frac{10^{n+1} + n - 10 }{9} [/tex]
Б. [tex] \frac{10^{n+2} + 9n - 1 }{9}[/tex]
В. [tex] \frac{10^{n+2} -10 }{9}[/tex]
Г. [tex] \frac{10^{n+1} -10 }{9}[/tex]
Д. [tex] \frac{10^{n+2} + 10n - 1 }{9}[/tex]
Answers & Comments
Verified answer
Замечаем, что11 + 101 + 1001 + 10001 + ... + 100...001 =
= (10 + 1) + (100 + 1) + (1000 + 1) + (10000 + 1) + ... + (100...000 + 1) =
= (n + 1) + (10 + 100 + 1000 + 10000 + ... + 100...000)
Количество единиц равно (n + 1). Это следует из простого соответствия количеству нулей в последнем числе. Если бы у нас был n=1, то и число единиц равно 1. Если n=2, то и число единиц равно двум. И т.д. В последнем числе за n взято количество нулей без учёта единицы в младшем разряде, которую мы отделили. Т.е. на месте этой единицы стоит ещё один нуль, а всего их (n+1). Значит, и единиц столько же суммируется.
Во второй скобке спряталась геометрическая прогрессия с b1=10 и q=10. Количество же членов этой прогрессии тоже равно (n+1).
Сумма геометрической прогрессии ищется по формуле:
b1 * (1 - q^n)
S = ------------------
1 - q
Подставляем наши значения, не забываем, что в нашем случае количество членов (которое в формуле фигурирует как n) равно (n+1)
10 * (1 - 10^(n+1)) 10 - 10^(n+2)
S = ------------------------- = --------------------
1- 10 -9
Добавляем сумму единиц:
10 - 10^(n+2) -9 * (n+1)
Сумма = S + (n+1) = -------------------- + ------------- =
-9 -9
10 - 10^(n+2) - 9n - 9 -10^(n+2) - 9n + 1 10^(n+2) + 9n - 1
= ----------------------------- = ------------------------- = ------------------------
-9 -9 9
Ответ: Б.