tex]...

July 2022 1 35 Report

Найти предел) Без Лопиталей.
[tex]\lim_{x \to +\infty}ln\frac{x+\sqrt{x^2+1} }{x+\sqrt{x^2-1} }*ln^{-2} \frac{x+1}{x-1}[/tex]

Answers & Comments

KayKosades

Во первых очевидно, что

$\lim\limits_{x\to \infty}\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{x+\sqrt{x^2-1}} =1\\\lim\limits_{x\to \infty}\frac{x+1}{x-1} =1$

Поэтому, при $x \to \infty$

$\ln(\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{x+\sqrt{x^2-1}})=\ln(1+(\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{x+\sqrt{x^2-1}}-1)) \sim \frac{x+\sqrt{x^2+1}}{x+\sqrt{x^2-1}}-1=\frac{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}} \\\ln^2\frac{x+1}{x-1} =\ln^2(1+(\frac{x+1}{x-1}-1)) \sim (\frac{x+1}{x-1}-1)^2=\frac{4}{(x-1)^2}$

Перепишем исходный предел, использовав эти эквивалентности:

$></p><p><img src=$

2 votes Thanks 1

KayKosades эта хрень под логарифмами стремится к 1 при x->oo, а когда вычитаем из этих дробей 1 как раз получаем функции стремящиеся к нулю и можно применить эквивалентности

Answers & Comments

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social