x^7 + x^5 + 1 = x^7 - x^6 + x^6 + x^5 - x^5 + x^5 + x^4 - x^4 +x^3 - x^3 + x^2 - x^2 + x - x + 1 = x^2*(x^5 - x^4 + x^3 - x + 1) + x*(x^5 - x^4 + x^3 - x + 1) + 1*(x^5 - x^4 + x^3 - x + 1) = (x^2 + x + 1)(x^5 - x^4 + x^3 - x + 1)

аналогично + - иксы в разных степенях

x^8 + x + 1 = x^8 - x^7 + x^7 + x^6 - x^6 + x^5 - x^5 + x^4 - x^4 +x^3 - x^3 + x^2 - x^2 + x  + 1 = x^2*(x^6 - x^5 + x^3 - x^2 + 1) + x*(x^6 - x^5 + x^3 - x^2 + 1) + 1*(x^6 - x^5 + x^3 - x^2 + 1) = (x^2 + x + 1)(x^6 - x^5 + x^3 - x^2 + 1)

Verified answer

Ответ:

x^7 +x^5+1 =  (x^2+x+1)* ( x^5 -x^4+x^3-x+1)

 x^8+x+1 = (x^2+x+1)*(x^6-x^5+x^3-x^2 +1)

Объяснение:

1) x^7 +x^5+1  = x^7 +x^6 +x^5 + 1-x^6  =  x^5*(x^2+x+1)  +(1-x^3)*(1+x^3) =

= x^5*( x^2+x+1) +(1+x^3)*(1-x)*(1+x+x^2) = (x^2+x+1)*(x^5 +(1-x)*(1+x^3) ) =

= (x^2+x+1)* ( x^5 -x^4+x^3-x+1)

x^5-x^4+x^3-x +1=0  - вроде не имеет решения вида  p+-sqrt(q) ,  где p и q- рациональные числа. Можно это проверить прямой подстановкой, но я этого делать не буду. Разложения на два множителя тут достаточно. А значит дальше разложить на множители с рациональными коэффициентами не удастся.

2) x^8+x+1 = x^8-x^2 + x^2+x+1 = x^2*(x^6-1) +x^2+x+1 =

x^2*(x^3-1)*(x^3+1) +x^2+x+1 = x^2*(x^3+1)*(x-1)*(x^2+x+1) +x^2+x+1 =

=(x^2+x+1)*( x^2*(x^3+1)*(x-1) +1) = (x^2+x+1)*(x^6-x^5+x^3-x^2 +1)

x^6-x^5+x^3-x^2 +1 -  аналогично не разложить на произведение многочленов с рациональными коэффициентами.