При каких "a" уравнение имеет решение?[tex] \frac{1}{ \sin(x) } + \frac{1}{ \cos(x) } = \frac{1}{a} [/tex]. Created by lalakuQQ. algebra-ru

Рассмотрим интервал . На нем функция непрерывна. Более того, при функция , а при функция . Тогда можно выбрать такие точки и из соответственно правой и левой полуокрестностей и , что для заданного наперед будет верно, что . А тогда можно применить теорему Больцано-Коши (о промежуточном значении) для отрезка и получить, что . Тогда область значений есть , то есть уравнение имеет решение при всех .

tex]...

lalakuQQ @lalakuQQ

August 2022 1 63 Report

При каких "a" уравнение имеет решение?
[tex] \frac{1}{ \sin(x) } + \frac{1}{ \cos(x) } = \frac{1}{a} [/tex]

Answers & Comments

Guerrino

Рассмотрим интервал $(-\pi/2,0)$ . На нем функция $f(x) = \dfrac{1}{\sin x} + \dfrac{1}{\cos x}$ непрерывна. Более того, при $x\to -\pi/2$ функция $f(x)\to +\infty$ , а при $x\to -0$ функция $f(x)\to -\infty$ . Тогда можно выбрать такие точки $a$ и $b$ из соответственно правой и левой полуокрестностей $-\pi/2$ и $0$ , что для заданного наперед $M>0$ будет верно, что $f(a)>M \wedge f(b)$ . А тогда можно применить теорему Больцано-Коши (о промежуточном значении) для отрезка $[a,b]\subset (-\pi/2,0)$ и получить, что $\forall C: -M \leq C\leq M \to \exists c\in(a,b): f(c) = C$ . Тогда область значений $f(x)|_{(-\pi/2,0)}$ есть $(-\infty,\infty)$ , то есть уравнение имеет решение при всех $a\neq 0$ .