tex]...

August 2022 1 12 Report

объясните мне пожалуйста ПОДРОБНО упрощение выражения ниже, (оно уже упрощено, мне лишь необходимо, чтобы мне расписали и объяснили почему именно так, как это вышло, и не иначе):

[tex]{x}^{3} - {2x}^{2} - 5x + 6 =(x - 1)(x + 2)(x - 3)[/tex]

Answers & Comments

MrSolution

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

Я так понимаю, нужно объяснить разложение на множители.

Сделать это не так сложно.

Вот пример:

$x^3-2x^2-5x+6=x^3-x^2-x^2+x-6x+6=\\=x^2(x-1)-x(x-1)-6(x-1)=(x-1)(x^2-x-6)=\\=(x-1)(x^2+2x-3x-6)=(x-1)(x(x+2)-3(x+2))=\\=(x-1)(x+2)(x-3)$

Откуда такие преобразования?

Напишу универсальный алгоритм:

По теореме Безу определить корень уравнения (если корень целый, то он обязательно будет делителем свободного члена (того, что без x)). В нашем один из корней корень x=1.
По схеме Горнера или уголком поделить исходный многочлен на x-a, где a - корень уравнения (в нашем случае 1), т.е. делим на (x-1).
В результате деления получим ( $x^2-x-6$ ). Первый этап выполнен. Сейчас имеем $(x-1)(x^2-x-6)$ .
Если уравнение не квадратное, идем на первый этап. Иначе идем на этап 5.
Решим уравнение $x^2-x-6=0$ (решается либо через дискриминант, либо через теорему Виета). Корни $x_1=-2,\;x_2=3$ .
Вспомним формулу: $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ . Здесь $a=1,\;x_1=-2,\;x_2=3$ . Тогда: $x^2-x-6=(x+2)(x-3)$ .
Получили результат: $x^3-2x^2-5x+6=(x-1)(x+2)(x-3)$ .