Доказать, что [tex]\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}=3[/tex]. Created by TMR. algebra-ru

tex]...

Erick14

Обозначим

$A=\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}$ - (это число действительное, как сумма действительных чисел, корень кубический из любого действительного числа - число действительное, корень квадратный с положительного число - действительное число)

Возведем в куб (пользуясь формулой куба двучлена в виде $(x+y)^3=x^3+3(x+y)xy+y^3$ )

, получим

$A^3=(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}})^3=\\\\ (\sqrt[3]{9+\sqrt{80}})^3+3*(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}})*\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}*\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}+(\sqrt[3]{9-\sqrt{80}})^3=\\\\ 9+\sqrt{80}+3*A*\sqrt[3]{(9+\sqrt{80})(9-\sqrt{80})}+9-\sqrt{80}=\\\\ 18+3*A*\sqrt[3]{(9^2-(\sqrt{80})^2}=\\\\ 18+3*A*\sqrt[3]{81-80}=\\\\ 18+3A*1=18+3A$

откуда получили что для данного А, справедливо уравнение(решим его)

$A^3=18+3A;\\\\A^3-3A-18=0;\\\\A^3-3A^2+3A^2-9A+6A-18=0;\\\\A^2(A-3)+3A(A-3)+6(A-3)=0;\\\\(A-3)(A^2+3A+6)=0$

откуда либо А-3=0, А=3 - действительное число

либо $A^2+3A+6=0; D=3^2-4*6=9-24=-15$ - уравнение действительных корней не имеет,

значит А=3, т.е.

$\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}=3$ , что и требовалось доказать

1 votes Thanks 2

Answers & Comments

Verified answer

tex] не имеет решений (относительно переменных х и у). Найдите k. Плиз...

Найдите наименьшее значение выражения x⁸+y⁸-3х²у², если числа х и у принимают де...

Оптическая система состоит из рассеивающей и собирающей линз (см. рисунок, крест...

Где находится центр тяжести двух одинаковых тонких стержней, имеющих длину 12 см...

л...

tex]...

Цилиндрический сосуд массы 10 кг, площадь основания которого равна 80 см2, накры...

л при той же температуре? У меня получается 225,73 мл, но ответ - 183,76 мл...(...

Испытания паровых котлов на прочность производят, нагнетая в них под большим дав...

последовательность задана рекуррентно. задать ее формулой n-го члена: a₁=3, a n+...

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social