tex]не является рациональным числом. ...

LeGioNer20022 @LeGioNer20022

July 2022 1 15 Report

Помогите пожалуйста даю 35 баллов. Докажите, что
[tex] \sqrt{5} [/tex]
не является рациональным числом.

Answers & Comments

igorShap

Verified answer

Пусть число $\sqrt5$ рационально. Тогда $\exists m, n\in Z \backslash \{0\}, HOD(m,\:n)=1:\:\:\: \sqrt5=\dfrac{m}{n}=>\\ 5=\dfrac{m^2}{n^2}=>5n^2=m^2=>m^2\vdots 5$

Т.к. 5 - простое, то $m\vdots 5=>m=5k, k \in Z \backslash \{0\}, HOD(k,\:n)=1=>5n^2=25k^2=>n^2=5k^2=>n^2\vdots 5=>n\vdots 5$ - т.е. и $n$ , и $m$ кратны 5, а значит $HOD(m,\:n)\neq 1$ - противоречие.

А значит предположение неверно, и число $\sqrt5$ иррационально.

Ч.т.д.

2 votes Thanks 1

LeGioNer20022 не понял что там ,,Тогда 》E)(m...''

igorShap Это символическая запись утверждения с помощью квантора существования. Существуют такие ненулевые взаимно простые целые числа m и n, не равные 0, что выполняется условие: \sqrt{5}=m/n