tex]решите уравнение, пожалуйста. И объясните как решаете, пожалуйста...

Andr4t @Andr4t

July 2022 1 13 Report

[tex]x ^{4} + 4x - 1 = 0[/tex]
решите уравнение, пожалуйста. И объясните как решаете, пожалуйста

Answers & Comments

AnonimusPro

Verified answer

Данное уравнение не имеет целых корней.

Используем метод Феррари:

уравнение вида

$(1)\ x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$

с помощью замены $x=y-\frac{a}{4}$

приводим к виду:

$(2)\ y^4+p*y^2+qy+r=0$

где:

$p=b-\frac{3a^2}{8}\\q=\frac{a^3}{8}-\frac{a*b}{2}+c\\r=-\frac{3a^4}{256}+\frac{a^2b}{16}-\frac{a*c}{4}+d$

добавим и вычтем из левой части уравнения 2 выражение $2sy^2+s^2$ , где s - некоторое число:

$y^4+p*y^2+qy+r=y^2+py^2+2sy^2+qy+r+s^2-2sy^2-s^2=\\=y^4+2sy^2+s^2+y^2(p-2s)+qy+r-s^2=\\=(y^4+2s*y^2+s^2)+(p-2s)(y^2+\frac{2*qy}{2*(p-2s)})+r-s^2=\\=(y^2+s)^2+(p-2s)(y^2+2(\frac{qy}{2(p-2s)}+\frac{q^2}{4(p-2s)^2})-\frac{\frac{q^2}{4(p-2s)^2}}{p-2s}+r-s^2=\\=(y^2+s)^2+(p-2s)(y+\frac{q}{2(p-2s)})^2+r^2-s^2-\frac{q^2}{4(p-2s)}$

получим:

$(3)\ (y^2+s)^2+(p-2s)(y+\frac{q}{2(p-2s)})^2+r^2-s^2-\frac{q^2}{4(p-2s)}=0$

Пусть s - корень уравнения

$(4)\ r^2-s^2-\frac{q^2}{4(p-2s)}=0$

Тогда уравнение 3 примет вид:

$(5)(y^2+s)^2+(p-2s)(y+\frac{q}{2(p-2s)})^2=0$

Избавляемся в уравнении 4 от знаменателя:

$r(p-2s)-s^2(p-2s)-\frac{q^2}{4}=0$

Раскроем скобки и получим:

$(6)\ 2s^3-ps^2-2rs+rp-\frac{q^2}{4}=0$

Уравнение 6 называется кубической резольвентой уравнения 4 степени.

Разложим уравнение 5 на множители:

$(y^2+s)^2+(p-2s)(y+\frac{q}{2(p-2s)})^2=0\\(y^2+s)^2-(2s-p)(y-\frac{q}{2(2s-p)})^2=0\\(y^2+s^2)^2-(y*\sqrt{2s-p}-\frac{q}{2\sqrt{2s-p}})^2=0\\(y^2-y\sqrt{2s-p}+\frac{q}{2\sqrt{2s-p}}+s)(y^2+y\sqrt{2s-p}-\frac{q}{2\sqrt{2s-p}}+s)=0$

Получим два квадратных уравнения:

$(7)\ y^2-y\sqrt{2s-p}+\frac{q}{2\sqrt{2s-p}}+s=0\\(8)\ y^2+y\sqrt{2s-p}-\frac{q}{2\sqrt{2s-p}}+s=0$

Применяем этот метод для решения уравнения

$x^4+4x-1=0$

Перепишем уравнение в полном виде:

$x^4+0x^3+0x^2+4x-1=0$

коэффиценты:

a=0

b=0

c=4

d=-1

определяем p,q и r:

$p=b-\frac{3a^2}{8}=0\\q=\frac{a^3}{8}-\frac{a*b}{2}+c=0-0+c=4\\r=-\frac{3a^4}{256}+\frac{a^2b}{16}-\frac{a*c}{4}+d=0+0-0+d=-1$

ищем s:

$2s^3-ps^2-2rs+rp-\frac{q^2}{4}=0\\2s^3+2s-4=0\\s^3+s-2=0\\s=1\\1+1-2=0\Rightarrow s=1$

подставляем p,q,r и s в квадратные уравнения 7 и 8:

$y^2-y\sqrt{2s-p}+\frac{q}{2\sqrt{2s-p}}+s=0\\y^2-y\sqrt{2}+\frac{4}{2\sqrt{2}}+1=0\\y^2-y\sqrt{2}+\sqrt{2}+1=0\\D=2-4(\sqrt{2}+1)$

$y^2+y\sqrt{2s-p}-\frac{q}{2\sqrt{2s-p}}+s=0\\y^2+y\sqrt{2}-\sqrt{2}+1=0\\D=2-4(-\sqrt{2}+1)=2+4\sqrt{2}-4=4\sqrt{2}-2\\y_{1,2}=\frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{4\sqrt{2}-2}}{2}$

Теперь находим x:

$x=y-\frac{a}{4}=y-0=y$

Ответ: $\frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{4\sqrt{2}-2}}{2}$

1 votes Thanks 1

Answers & Comments

Verified answer

postrojte grafik funkcii u x2 6h 3poetapno s obyasneniyami

i was at shops yesterday and i bought copy bookpravilnoe li postroenie predlozhe

projdya nemnogo bolotom deti podnyalis na pervuyu borinu izvestnuyu pod nazvaniem

pomogite pozhalujsta reshit zadachu 111

kak skazat na anglijskom u menya problemy s dveryu ona ne otkryvaetsya dejst

sostavte reakcii h2so4na2co3 na cl2 cl2 cucusmgo naa333875a835710bddce7c7c4cd4d30e7 74212

pravilno li budet skazat today we are talking about our favourite food

dokazhite chto esli otrezki soedinyayushie serediny protivopolozhnyh storon v vypuklom

sostavte uravnenie reakcii s pomoshyu kotoryh mozhno osushestvit sleduyushie reakci

postrojte grafik funkcii pozhalujsta ochen nado yx 1 1spasibo zaranee

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social