Ответ:

1)-(4sin²x-3)=2+4cos x

-4sin²x+3-2-4cosx=0

Заменим sin²x=1-cos²x

-4(1-cos²x)+1-4cosx=0

4cos²x-4cosx-3=0

Квадратное уравнение, замена cosx=t, | t|≤1

4t²-4t-3=0

D=(-4)²-4·4·(-3)=4(4+12)=4·16=64=8²

t=(4-8)/8=-1/2 или t=(4+8)/8=12/8>1

cosx=-1/2

x=±arccos(-1/2)+2πk,k∈Z

x=±(π-arccos1/2)+2πk,k∈Z

x=±(π- (π/3))+2πk,k∈Z

x=±2π/3+2πk,k∈Z

Здесь две серии ответов

х₁=2π/3+2πk, k∈Z или х₂=-2π/3 + 2πn,n∈Z

все ответы вида х₁ находятся во второй четверти

все ответы вида х₂ - в третьей

если дополнительное условие :sinx≥0,

то надо оставить ответы х₁

если нет такого условия, то оба ответа

2) tg²x+3ctg²х=4

\begin{gathered}tg ^{2}x+3\cdot \frac{1}{tg ^{2}x }-4=0, \\ \frac{(tg ^{2}x) ^{2}-4tg ^{2}x+3 }{tg ^{2}x }=0\end{gathered}

tg

2

x+3⋅

tg

2

x

1

−4=0,

tg

2

x

(tg

2

x)

2

−4tg

2

x+3

=0

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Решаем квадратное уравнение, замена переменной tg²x=t

t²-4t+3=0

D=(-4)²-4·3=16-12=4=2²

t=(4-2)/2=1 или t=(4+2)/2=3

tg²x=1 ⇒$$\left \ [ {{tgx=1} \atop {tgx=-1}} \right.$$

x₁= π/4 + πk, k∈Z или x₂=-π/4 + πn, n∈Z

tg²=3⇒$$\left \ [ {{tgx= \sqrt{3} } \atop {tgx=- \sqrt{3} }} \right.$$

x₃= π/3 + πm, m∈Z или x₄=-π/3 + πr, r∈Z

Ответ. x=±π/4+πk, k∈Z

x=±π/3+πn, n∈Z

3)2sin2x-5sin4x=0

Формула синуса двойного угла.

sin 4x=2 sin 2x·cos2x

2sin2x-5·2sin2x·cos2x=0

2sin2x(1-5cos2x)=0

Произведение двух множителей равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю

sin2x=0 или 1-5cos2x=0

2х=πk, k∈Z или сos2x= 1/5 ⇒2x=±arccos(1/5) + 2πn, n∈Z

x=πk/2, k∈Z или х= ±1/2· arccos(1/5) +πn, n∈Z

Ответ. x=πk/2, k∈Z; х= ±1/2· arccos(1/5) +πn, n∈Z