Основное тригонометрическое тождество:

[tex]\sin^2\alpha +\cos^2\alpha =1[/tex]

Следствие из него:

[tex]\mathrm{tg}^2\, \alpha +1=\dfrac{1}{\cos^2\alpha }[/tex]

[tex]\cos^2\alpha=\dfrac{1}{\mathrm{tg}^2\, \alpha +1}[/tex]

Формула косинуса двойного угла:

[tex]\cos2\alpha =2\cos^2\alpha -1[/tex]

Рассмотрим уравнение:

[tex]\mathrm{tg}\, 3x + \cos 6x = 1[/tex]

ОДЗ: [tex]\cos3x\neq 0\Rightarrow 3x\neq \dfrac{\pi }{2} +\pi n\Rightarrow x\neq \dfrac{\pi }{6} +\dfrac{\pi n}{3} ,\ n\in\mathbb{Z}[/tex]

[tex]\mathrm{tg}\, 3x + 2\cos^23x-1 = 1[/tex]

[tex]\mathrm{tg}\, 3x + \dfrac{2}{\mathrm{tg}^2\,3x+1}-1 - 1=0[/tex]

[tex]\mathrm{tg}\, 3x -2+ \dfrac{2}{\mathrm{tg}^2\,3x+1}=0[/tex]

[tex](\mathrm{tg}\, 3x -2)(\mathrm{tg}^2\,3x+1)+ 2=0[/tex]

[tex]\mathrm{tg}^3\,3x-2\mathrm{tg}^2\,3x+\mathrm{tg}^2\,3x-2+2=0[/tex]

[tex]\mathrm{tg}^3\,3x-2\mathrm{tg}^2\,3x+\mathrm{tg}^2\,3x=0[/tex]

[tex]\mathrm{tg}\,3x(\mathrm{tg}^2\,3x-2\mathrm{tg}\,3x+1)=0[/tex]

[tex]\mathrm{tg}\,3x(\mathrm{tg}\,3x-1)^2=0[/tex]

Уравнение распадается на два. Решаем первое уравнение:

[tex]\mathrm{tg}\,3x=0[/tex]

[tex]3x=\pi n[/tex]

[tex]x_1=\dfrac{\pi n}{3} ,\ n\in\mathbb{Z}[/tex]

Решаем второе уравнение:

[tex](\mathrm{tg}\,3x-1)^2=0[/tex]

[tex]\mathrm{tg}\,3x-1=0[/tex]

[tex]\mathrm{tg}\,3x=1[/tex]

[tex]3x=\dfrac{\pi }{4} +\pi n[/tex]

[tex]x_2=\dfrac{\pi }{12} +\dfrac{\pi n}{3} ,\ n\in\mathbb{Z}[/tex]

Ответ: [tex]\dfrac{\pi n}{3};\ \dfrac{\pi }{12} +\dfrac{\pi n}{3} ,\ n\in\mathbb{Z}[/tex]