Формула тангенса суммы: tg (x + y) = (tg x + tg y) / (1 - tg x tg y)
Отсюда tg x + tg y = tg(x +y) * (1 - tg x tg y) Если положить x = y, получится формула тангенса двойного угла tg 2x = 2 tg x / (1 - 2 tg^2 x)
Преобразуем выражение в левой части: tg x + tg 2x + tg 3x = tg 3x * (1 - tg x tg 2x) + tg 3x = tg 3x (2 - tg x tg 2x) = tg 3x * (2 - tg x * 2 tg x / (1 - tg^2 x)) = 2 tg 3x * (1 - 2 tg^2 x) / (1 - tg^2 x)
2 tg 3x * (1 - 2 tg^2 x) / ( 1 - tg^2 x) = 0 tg 3x = 0 или 1 - 2 tg^2 x = 0 3x = πk, k ∈ Z или x = πn +- arctg 1/√2, n ∈ Z x = πk/3, k ∈ Z или x = πn +- arctg 1/√2, n ∈ Z
При таких x все тангенсы существуют, посторонних корней не появилось.
Ответ. x = πk/3, k ∈ Z или x = πn +- arctg 1/√2, n ∈ Z
Answers & Comments
Verified answer
Формула тангенса суммы:tg (x + y) = (tg x + tg y) / (1 - tg x tg y)
Отсюда tg x + tg y = tg(x +y) * (1 - tg x tg y)
Если положить x = y, получится формула тангенса двойного угла
tg 2x = 2 tg x / (1 - 2 tg^2 x)
Преобразуем выражение в левой части:
tg x + tg 2x + tg 3x = tg 3x * (1 - tg x tg 2x) + tg 3x = tg 3x (2 - tg x tg 2x) = tg 3x * (2 - tg x * 2 tg x / (1 - tg^2 x)) = 2 tg 3x * (1 - 2 tg^2 x) / (1 - tg^2 x)
2 tg 3x * (1 - 2 tg^2 x) / ( 1 - tg^2 x) = 0
tg 3x = 0 или 1 - 2 tg^2 x = 0
3x = πk, k ∈ Z или x = πn +- arctg 1/√2, n ∈ Z
x = πk/3, k ∈ Z или x = πn +- arctg 1/√2, n ∈ Z
При таких x все тангенсы существуют, посторонних корней не появилось.
Ответ. x = πk/3, k ∈ Z или x = πn +- arctg 1/√2, n ∈ Z
Verified answer
Tgx + tg2x + tg3x = 0Sin3x/(CosxCos2x) + tg3x=0
Sin3x/(CosxCos2x) + Sin3x/Cos3x = 0
Sin3x(1/(CosxCos2x) + 1/Cos3x) = 0
a) Sin3x = 0
3x = nπ, n ∈ Z
x = nπ/3, n∈Z
б) 1/(CosxCos2x) + 1/Cos3x=0
(Cos3x + CosxCos2x)/(CosxCos2xCos3x) = 0
составим систему:
Cos3x + CosxCos2x =0,⇒ 4Cos³x -3Cosx + CosxCos2x =0,
CosxCos2xCos3x ≠ 0, ⇒ Cosx≠0, Cos2x≠ 0 , Cos3x ≠ 0
Теперь будем решать:
4Cos³x -3Cosx + CosxCos2x =0
Cosx(4Cos²x -3 + Cos2x) = 0
Cosx = 0 или 4Cos²x -3 + Cos2x = 0
∅ 4Сos²x -3 + 2Cos²x - 1 = 0,
6Cos²x = 4
Cos²x = 2/3
Cosx = +-√6/3
1) Cosx = √6/3
x = +-arcCos√6/3 + 2πk , k ∈Z
2) Сosx = -√6/3
x = +-arcCos(-√6/3) + 2πm, m ∈Z