Точка H — ортоцентр остроугольного треугольника ABC. Известно, что AH⋅BC=9, BH⋅AC=30, а площадь треугольника ABC равна 18. Найдите CH⋅AB. Средняя линия трапеции делит трапецию на две, площадь одной из которых в 2 раза больше площади другой. Найдите отношение большего основания исходной трапеции к меньшему. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC выполнено равенство AD=2AB=2BC. Диагональ AC равна 7, а боковая сторона CD равна 5. Найдите площадь трапеции. Решите срочно пжжжпжпжжжпжпж даю 81 балл!!!!. Created by Likelikes. geometriya-ru

Точка H — ортоцентр остроугольного треугольника ABC. Известно, что AH⋅BC=9, BH⋅A...

mathkot

Verified answer

Ответ:

1. CH * AB = 33

2. $\frac{AD}{BC} = \frac{5}{1}$

3. $S_{\bigtriangleup ABCD} = 26,25$ квадратных сантиметров

Объяснение:

1. Дано: H — ортоцентр остроугольного ΔABC, $S_{\bigtriangleup ABC} = 18$ ,AH⋅BC=9, BH⋅AC=30.

Найти: CH⋅AB - ?

Решение: По определению ортоцентр(точка H по условию) эта точка пересечения высот треугольника, при этом по свойствам ортоцентра в остроугольном треугольнике (по условию ΔABC - остроугольный) ортоцентр лежит внутри треугольника.

Составим системы уравнений по формуле площади треугольника и условию задачи:

1) $\displaystyle \left \{ {{AH * BC = 9} \atop {AH_{1} * BC = 2S_{\bigtriangleup ABC} } \right.$ 2) $\displaystyle \left \{ {{BH * AC = 30} \atop {BH_{2} * AC = 2S_{\bigtriangleup ABC} } \right.$

1) $\displaystyle \left \{ {{AH * BC = 9} \atop {AH_{1} * BC = 36 } \right.$ 2) $\displaystyle \left \{ {{BH * AC = 30} \atop {BH_{2} * AC = 36 } \right.$

Поделим нижнее уравнение системы на верхнее уравнение:

1) $\frac{AH_{1} * BC}{AH * BC} = \frac{36}{9} \Longleftrightarrow \frac{AH_{1}}{AH} = \frac{4}{1} \Longrightarrow AH_{1} = 4AH$

2) $\frac{BH_{2} * AC}{BH * AC} = \frac{36}{30} \Longleftrightarrow \frac{BH_{2}}{BH} = \frac{1,2}{1} \Longrightarrow BH_{2} = 1,2BH$

Составим систему уравнений:

$\left \{\begin{array}{l} BH_{2} = BH + HH_{2} \\ AH_{1} = AH + HH_{1} \\ CH_{3} = CH + HH_{3}\end{array} \right$ $\left \{\begin{array}{l} HH_{2} = BH_{2} - BH = 1,2BH - BH = 0,2BH \\ HH_{1} = AH_{1} - AH = 4AH - AH = 3AH \\ CH = CH_{3} - HH_{3}\end{array} \right$

$S_{\bigtriangleup ABC} = S_{\bigtriangleup AHB} + S_{\bigtriangleup CHB} + S_{\bigtriangleup AHC}|* 2$

$2S_{\bigtriangleup ABC} = 2S_{\bigtriangleup AHB} + 2S_{\bigtriangleup CHB} + 2S_{\bigtriangleup AHC}$

$2 * 18 = 2 * 0,5 * HH_{3} * AB + 2 * 0,5 *HH_{1} * BC + 2 * 0,5 * HH_{2} * AC$

$36 = HH_{3} * AB + HH_{1} * BC + HH_{2} * AC$

$36 = HH_{3} * AB + 3(AH * BC) + 0,2 (BH *AC)$

$36 = HH_{3} * AB + 3 * 9 + 0,2 * 30$

$36 = HH_{3} * AB + 27 + 6$

$HH_{3} * AB = 3$

Составим систему уравнений:

$\displaystyle\left \{ {{CH_{3} * AB = 2S_{\bigtriangleup ABC}|:CH_{3}} \atop {HH_{3} * AB = 3|:HH_{3}}} \right.$ $\displaystyle \left \{ {{AB = \frac{2S_{\bigtriangleup ABC}}{CH_{3}} } \atop {AB=\frac{3}{HH_{3}} }} \right.$