точка С треугольника АВС не принадлежит плоскости альфа , содержащая сторону АВ. на сторонах СА и СВ взяты точки СА1 и СВ1 соответственно, причем СА1:СА=СВ1:СВ=3:5
а) докажите, что А1В1 параллельна альфа
а) докажите, что А1В1 параллельна альфа
Answers & Comments
Ответ:
1) Рассмотрим ΔA1CB1 и ΔACB.
CA1 : CA = CB1 : CB (усл.)
∠C - общий
Значит, ΔA1CB1 подобен ΔACB
2) ΔA1CB1 подобен ΔACB (п. 1) ⇒ ∠CAB = ∠CA1B1
Расcмотрим прямые A1B1 и AB. Для них АС - секущая, а ∠CAB и ∠CA1B1 - соответственные при секущей АС. Но ∠CAB = ∠CA1B1, значит A1B1 ║AB
3) A1B1 ║AB (п. 2)
AB ⊂ альфа (усл.)
Значит, A1B1 ║альфа (если данная прямая параллельна какой-либо прямой в данной плоскости, то данная прямая параллельна данной плоскости)