Точки A и B расположены на координатных осях плоскости xOy. Какую наименьшую длину может иметь отрезок AB, если ему принадлежит точка M( 1 ; 8 ) ?
Answers & Comments
Kазак
Точка А(x₀;0) Точка B(0;y₀) Уравнение прямой, проходящей через 2 точки (x₁;y₁) и (x₂;y₂) (x-x₁)/(x₂-x₁) = (y-y₁)/(y₂-y₁) И точка M(1;8) лежит на прямой АВ (x₀-1)/(0-8) = (0-1)/(y₀-8) (x₀-1)/8 = -1/(y₀-8) (x₀-1)(y₀-8) = 8 y₀-8 = 8/(x₀-1) y₀ = 8 + 8/(x₀-1) = (8x₀-8+8)/(x₀-1) y₀ = 8x₀/(x₀-1) расстояние r = √(x₀² + (8x₀/(x₀-1))²) Производная по x₀ (пока без 0 пишем, и так громоздко) dr/dx = 1/(2√(x² + (8x/(x-1))²)) *( 2x +2*(8x/(x-1))*(-8/(x-1)²)) Приравняем производную к нулю 1/(2√(x² + (8x/(x-1))²)) *( 2x +2*(8x/(x-1))*(-8/(x-1)²)) = 0 Знаменатель отбросим 2x +2*(8x/(x-1))*(-8/(x-1)²) = 0 x(1 - 64/(x-1)³) = 0 x₁ = 0 - не подходит 64/(x-1)³ = 1 (x-1)³ = 64 x-1 = 4 x₂ = 5 - а вот это желанный минимум расстояния x₀ = 5 y₀ = 8x₀/(x₀-1) = 40/4 = 10 И длина отрезка r = √(5²+10²) = √125 = 5√5
2 votes Thanks 2
Kазак
Минимуму расстояния соответствует и минимум квадрата расстояния
Kазак
Если минимумы функция совпадают - неважно, от какой функции искать минимум. От r производная хуже будет... сейчас попробую.
Kазак
Это пропорциональность двух прямоугольных треугольников, построенных на точках A,B,M - это гипотенузы, а катеты параллельно осям координатам. Или уравнения прямой через две точки.
Kазак
минимум квадрата расстояния беру постоянно. В производной корень уходит вниз, в знаменатель и больше на результат не влияет.
Answers & Comments
Точка B(0;y₀)
Уравнение прямой, проходящей через 2 точки (x₁;y₁) и (x₂;y₂)
(x-x₁)/(x₂-x₁) = (y-y₁)/(y₂-y₁)
И точка M(1;8) лежит на прямой АВ
(x₀-1)/(0-8) = (0-1)/(y₀-8)
(x₀-1)/8 = -1/(y₀-8)
(x₀-1)(y₀-8) = 8
y₀-8 = 8/(x₀-1)
y₀ = 8 + 8/(x₀-1) = (8x₀-8+8)/(x₀-1)
y₀ = 8x₀/(x₀-1)
расстояние
r = √(x₀² + (8x₀/(x₀-1))²)
Производная по x₀ (пока без 0 пишем, и так громоздко)
dr/dx = 1/(2√(x² + (8x/(x-1))²)) *( 2x +2*(8x/(x-1))*(-8/(x-1)²))
Приравняем производную к нулю
1/(2√(x² + (8x/(x-1))²)) *( 2x +2*(8x/(x-1))*(-8/(x-1)²)) = 0
Знаменатель отбросим
2x +2*(8x/(x-1))*(-8/(x-1)²) = 0
x(1 - 64/(x-1)³) = 0
x₁ = 0 - не подходит
64/(x-1)³ = 1
(x-1)³ = 64
x-1 = 4
x₂ = 5 - а вот это желанный минимум расстояния
x₀ = 5
y₀ = 8x₀/(x₀-1) = 40/4 = 10
И длина отрезка
r = √(5²+10²) = √125 = 5√5