Verified answer

Точки А(0;5;4) и В(0;3;2)-вершины правильной пирамиды SABCD , высота которой равна 3. Точка О(0;3;4) – центр основания этой пирамиды . Найдите :  1) координаты вершин S, C и D  ; 2) длину бокового ребра пирамиды

Объяснение:

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания ⇒ в основании квадрат АВСD , у которого диагонали точкой пересечения делятся пополам.

По формуле нахождения координат середины :

Найдем  координаты С если А(0;5;4) ,О(0;3;4) , О-середина АС .

х(О)= ( х(А)+х(С) )/2 , 0= ( 0+х(С) )/2  ,  х(С)= 0*2-0=0 ;                                      

у(О)= ( у(А)+у(С) )/2 , 3= (5+у(С) )/2  , у(C)= 3*2-5=1;

z(О)= ( z(А)+z(С) )/2 , 4= (4+z(С) )/2  , z(C)= 4*2-4=4 .Точка C(0;1;4)

Найдем  координаты D если В(0;3;2) ,О(0;3;4) , О-середина АD .

х(О)= ( х(B)+х(D) )/2 , 0= ( 0+х(D) )/2  ,  х(D)= 0*2-0=0 ;                                      

у(О)= ( у(B)+у(D) )/2 , 3= (3+у(D) )/2  , у(D)= 3*2-3=3 ;

z(О)= ( z(B)+z(D) )/2 , 4= (2+z(D) )/2  , z(D)= 4*2-2=6 .Точка D(0;3 ;6 )

Найдем  координаты S(x;y;z)

• Координаты вектора АС{0 ;-4; 0},вектора SO{-х;3-у;4-z}. Эти вектора взаимно перпендикулярны , значит скалярное произведение  =0 или -х*0-4(3-у)+0(4-z)=0 , y=3 ;
• учитывая что боковые ребра равны AS=BS и  AS²=BS² ,по формуле расстояния между точками получаем

         (х-0)²+(у-5)²+ (z-4)²= (х-0)²+(у-3)²+ (z-2)² или

         -10у+25-8z+16=-6y+9-4z+4 или у+z=7.     Но у=3 ⇒z=4.

• учитывая что  длина высоты 3 ⇒  OS²=3² . Тогда

        (х-0)²+(у-3)²+ (z-4)²=9  или (х-0)²+(3-3)²+ (4-4)²=9  ⇒ х=±3 . Точка  

S(3;3;4) и S'(-3;3;4)

2) Длина АО=√(0²+(3-5)²+(4-4)² )=2

ΔAOS-прямоугольный , по т Пифагора АS=√(AO²+SO²)=√(4+9)=√13.