Точки M и E середины ребер AC и AB правильного тетраэдра ABCD соответственно, P-точка пересечения медиан треугольника BDC. Найдите угол между прямыми MP и DE.
Примем длину рёбер заданного тетраэдра за 1. Определим координаты всех заданных точек. Для этого поместим пирамиду точкой А в начало координат, точку В - на оси ОУ. Координаты точки А Координаты точки B Координаты точки C axay azbx bybzcx cycz 0 0 0 0 1 0 0.866 0.5 0
Координаты точки Д Координаты точки Е дx дy дz ЕxЕyЕz 0.2887 0.5 0.8165 0 0.5 0
Координаты точки Р Координаты точки М Рx Рy Рz МxМyМz 0.3849 0.66667 0.2722 0.433 0.25 0.
Находим координаты векторов МР и ДЕ. x y z Вектор МР={xР-xМ, yР-yМ, zР-zМ}-0,048113 0,4166667 0,27216553ВекторДЕ={xЕ-xД, yЕ-yД, zЕ-zД} -0,288675 0 -0,81649658.
Косинус угла между векторами определяем по формуле: . Подставив координаты векторов в формулу, получаем: cosα = 0,20833333 /0,433012702 = 0,48112522. Данному косинусу соответствует угол: α = 1,0688585 радиан или 61,241082°.
Answers & Comments
Verified answer
Примем длину рёбер заданного тетраэдра за 1.Определим координаты всех заданных точек.
Для этого поместим пирамиду точкой А в начало координат, точку В - на оси ОУ.
Координаты точки А Координаты точки B Координаты точки C
ax ay az bx by bz cx cy cz
0 0 0 0 1 0 0.866 0.5 0
Координаты точки Д Координаты точки Е
дx дy дz Еx Еy Еz
0.2887 0.5 0.8165 0 0.5 0
Координаты точки Р Координаты точки М
Рx Рy Рz Мx Мy Мz
0.3849 0.66667 0.2722 0.433 0.25 0.
Находим координаты векторов МР и ДЕ.
x y z
Вектор МР={xР-xМ, yР-yМ, zР-zМ}-0,048113 0,4166667 0,27216553ВекторДЕ={xЕ-xД, yЕ-yД, zЕ-zД} -0,288675 0 -0,81649658.
Косинус угла между векторами определяем по формуле:
Подставив координаты векторов в формулу, получаем:
cosα = 0,20833333 /0,433012702 = 0,48112522.
Данному косинусу соответствует угол:
α = 1,0688585 радиан или 61,241082°.