Verified answer

Треугольник CDE задан координатами своих вершин:  

C (2; 2), D (6; 5), E (5; -2).

1) Докажите, что треугольник CDE – равнобедренный.

2) Найдите биссектрису CF, проведенную из вершины C.

3) Напишите уравнение прямой, содержащей биссектрису CF.

1) Находим длины сторон.

CD = D (6; 5) - C (2; 2) = (4; 3), модуль равен √(4² + 3²) = √(16+9) =√25 = 5.

CE = E (5; -2) - C (2; 2) = (3; -4), модуль равен √(3² + (-4)²) = √(9+16) =√25 = 5.

ED = D (6; 5) - E (5; -2) = (1; 7), модуль равен √(1² + 7²) = √(1+49) =√50 = 5√2.

По длинам сторон определяем, что треугольник равнобедренный.

2) Найдём координаты точки F, используя свойство биссектрисы как медианы для равнобедренного треугольника.

F = (D (6; 5) + E (5; -2)) / 2 = (5,5; 1,5).

CF = (5,5-2; 1,5-2) = (3,5; -0,5).

Длина биссектрисы CF = √(3,5² + (-0,5)²) = √(12,25+0,25 =√12,5 ≈ 3,5355.

3) . Если на сторонах СD и СE треугольника отложить орты (соответственно a и b) и построить на них ромб, то диагональ ромба также поделит угол пополам (по своему свойству) и, значит, ее можно будет взять направляющей биссектрисы. Вектор, построенный на диагонали ромба, равен сумме векторов a и b).

Для нахождения ортов a и b используем найденные значения координат векторов СD и CE и их модулей.:

a = CD/|CD| = (4/5; 3/5)

b = CE/|CE| = (3/5; -4/5)

Теперь определим их сумму:

a + b = ((4/5) + (3/5); (3/5) + (-4/5)) = ((7/5); (-1/5)).

Тогда каноническое уравнение биссектрисы CF:

(x – 2)/(7/5) = (y – 2)/(-1/5)  или в общем виде

x + 7y – 16 = 0.