Три сестры пришли на рынок и продавали поштучно цыплят. Первая принесла 14 цыплят, вторая — 24, третья — 38 цыплят. Каждая из них часть товара продала утром, а часть — вечером. Утренняя цена одного цыпленка была у всех сестер одинаковая, и вечерняя цена тоже одинаковая, но более низкая (положительная). К вечеру весь товар был распродан, и дневная выручка (за утро и вечер) у всех сестер оказалась одинаковой: 1200 рублей. Найдите суммарную утреннюю выручку (в рублях) всех сестер. Ответ укажите в виде числа.
Answers & Comments
Verified answer
Пусть A - утренняя цена, B - вечерняя цена, тогда A>B>0.Первая утром продала x цыплят, вечером 14-x
Вторая утром продала y, вечером 24-y
Третья утром продала z, вечером 38-z.
Значит Ax+(14-x)B=Ay+(24-y)B=Az+(38-z)B=1200 (1)
Надо найти, чем равно A(x+y+z).
Из равенств (1) получаем:
Ax+(14-x)B=Ay+(24-y)B
Ax+14*B−Bx=Ay+24*B-By
Ax-Ay= 24*B-By-14*B+Bx
A(x-y)= B(x-y+10) => A/B=(x-y+10)/(x-y)= 10/(x-y)+1 (2)
(при этом очевидно, что x-y ≠ 0 - они продали разное к-во цыплят)
Аналогично:
A/B= 14/(y-z)+1 (3)
A/B= 24/(x-z)+1 (4)
Значит,
10/(x-y) = 14/(y-z) = 24/(x-z)
Разделим на 2:
5/(x-y) = 7/(y-z) = 12/(x-z)
Из первого равенствa получаем:
5(y-z) = 7(x-y)
5y-5z = 7x-7y
5y+7y = 7x+5z
12y = 7x+5z
Отнимем от обеих сторон 12х:
12y-12x = 5z - 5x
12(y-x)=5(z-x) (5)
Числа x,y,z и (y-x), (z-x) - целые.
х может быть от 1 до 13,
y может быть от 1 до 23,
z может быть от 1 до 37,
значит (z-x) может быть от -12 до 36.
С другой стороны (z-x) делится нацело на 12, значит (z-x) может принимать значения:
-12, 0, 12, 24, 36.
Значение 0 выкидываем, для остальных значений вычисляем (y-x) из уравнения (5).
Получим: -5, 0, 5, 10, 15
A/B= 10/(x-y)+1 => A/B может принимать значения 3, -1, 0, 1/3
Поскольку A>B (по условию), и А и В положительные, то нам подходит только значение A/B=3
Подставим это значение в уравнения (2), (3) и (4) и получим систему трёх уравнений:
x-y=5
y-z=7
x-z=12
Поскольку х не может быть больше 13 (1-я сестра привезла всего 14 цыплят, и не все продала утром), a z не может быть меньше 1 (3-я сестра продала хотя бы 1 цыплёнка до обеда), то из последнего уравнения получаем: х=13, z=1
Тогда y=8
Утром было продано: 13+8+1=22 цыпленка
вечером: (14-13)+(24-8)+(38-1)=54 цыпленка
Всего сёстры выручили 3*1200 = 3600
Составим систему:
22А+54В=3600
А/В=3
Решаем и получаем:
А=90, В=30
22*А = 22*90 = 1980
Ответ: утренняя выручка всех трёх сестёр составила 1980 рублей
-=Alphaeus=-
PS Вообще-то 6 баллов за такую задачку слишком мало...