Тригонометрия!№15 на фото. Благодарю за четкий и подробный ответ!
Answers & Comments
Kulakca
Решение этого уравнения состоит из двух частей. Сначала мы просто решим это уравнение, найдя всех кандидатов войти в ответ, а после произведём отбор корней в соответствии с областью допустимых значений переменной.
1)Итак, дробь равна 0 тогда и только тогда, когда числитель равен 0, а знаменатель отличен от 0 - думаю, тут вопросов нет. Тогда мы приходим к следующей системе cos 2x + sqrt2 * cos x + 1 = 0 tg x не равен 1 cos x не равен 0 С первыми двумя понятно - это следствие сказанного выше. А последнее я тоже обязан записать, поскольку сам по себе тангенс вносит определённые ограничения(это sin x/cos x), значит, cos x тоже должен быть отличен от 0. Теперь решаем первое уравнение системы. Для этого применяю формулу косинуса двойного угла: 2cos^2 x - 1 + sqrt2 * cos x + 1 = 0 2cos^2 x + sqrt2 * cos x = 0 cos x(2cos x + sqrt2) = 0 Отсюда я получаю, что либо cos x = 0(чего невозможно, поскольку иначе не существует тангенс), либо cos x = -sqrt2 / 2. Решаем последнее уравнение. А точнее, я сейчас нарисую тригонометрический кружок, там мы дорешаем уравнение и заодно произведём необходимый отбор корней. Напомню, что тригонометрический круг - это окружность радиуса 1. Рисуем оси координат. Вспоминаем, что величину косинуса откладываем по оси X, величину синуса - по оси Y. Наносим первое ограничение: cos x не равно 0. То есть, сначала ищем на окружности те точки, абсциссы которых равны 0, их две у нас. Отмечаю их красным цветом. Эти точки у нас запретные. Далее отмечаем ограничение tg x не равен 1. Рисуем ось тангенсов, это касательная к окружности, параллельная оси OY. В точке касания с окружностью tg x = 0. Находим tg x = 1 и из этой точки проводим прямую через центр окружности. Получаем две точки(в них tg x = 1), отмечаем их вновь красным цветом. Теперь отметим решение простейшего уравнения. У нас дано значение косинуса: отмечать будем на оси OX. Находим на ней точку -sqrt2 / 2.И проводим прямую, параллельную оси OY. Получаем на пересечении с окружностью две точки. Как видим, нижняя точка нам уже не подходит: прямая x = -sqrt2 / 2 попала точно в красную точку. А верхняя точка подходит. Её и записываем в ответ. Основное название точки: 3пи/4. Но, помня о том, что если мы из этой точки сделаем круг в любом направлении(то есть 2пи), мы всё равно придём в ту же точку. Итак, точка имеет название 3пи/4 + 2пиn Здесь n - целое число. Просто он показывает, что мы можем хоть n раз ходить по окружности взад-назад и всё равно приходить в эту точку: хоть оборот назад по окружности, хоть оборот вперёд. Ответ:3пи/4 + 2пиn
Answers & Comments
1)Итак, дробь равна 0 тогда и только тогда, когда числитель равен 0, а знаменатель отличен от 0 - думаю, тут вопросов нет. Тогда мы приходим к следующей системе
cos 2x + sqrt2 * cos x + 1 = 0
tg x не равен 1
cos x не равен 0
С первыми двумя понятно - это следствие сказанного выше.
А последнее я тоже обязан записать, поскольку сам по себе тангенс вносит определённые ограничения(это sin x/cos x), значит, cos x тоже должен быть отличен от 0.
Теперь решаем первое уравнение системы. Для этого применяю формулу косинуса двойного угла:
2cos^2 x - 1 + sqrt2 * cos x + 1 = 0
2cos^2 x + sqrt2 * cos x = 0
cos x(2cos x + sqrt2) = 0
Отсюда я получаю, что либо cos x = 0(чего невозможно, поскольку иначе не существует тангенс), либо cos x = -sqrt2 / 2. Решаем последнее уравнение. А точнее, я сейчас нарисую тригонометрический кружок, там мы дорешаем уравнение и заодно произведём необходимый отбор корней.
Напомню, что тригонометрический круг - это окружность радиуса 1. Рисуем оси координат. Вспоминаем, что величину косинуса откладываем по оси X, величину синуса - по оси Y.
Наносим первое ограничение: cos x не равно 0. То есть, сначала ищем на окружности те точки, абсциссы которых равны 0, их две у нас. Отмечаю их красным цветом. Эти точки у нас запретные.
Далее отмечаем ограничение tg x не равен 1. Рисуем ось тангенсов, это касательная к окружности, параллельная оси OY. В точке касания с окружностью tg x = 0. Находим tg x = 1 и из этой точки проводим прямую через центр окружности. Получаем две точки(в них tg x = 1), отмечаем их вновь красным цветом.
Теперь отметим решение простейшего уравнения. У нас дано значение косинуса: отмечать будем на оси OX. Находим на ней точку -sqrt2 / 2.И проводим прямую, параллельную оси OY. Получаем на пересечении с окружностью две точки. Как видим, нижняя точка нам уже не подходит: прямая x = -sqrt2 / 2 попала точно в красную точку. А верхняя точка подходит. Её и записываем в ответ. Основное название точки: 3пи/4. Но, помня о том, что если мы из этой точки сделаем круг в любом направлении(то есть 2пи), мы всё равно придём в ту же точку. Итак, точка имеет название 3пи/4 + 2пиn
Здесь n - целое число. Просто он показывает, что мы можем хоть n раз ходить по окружности взад-назад и всё равно приходить в эту точку: хоть оборот назад по окружности, хоть оборот вперёд.
Ответ:3пи/4 + 2пиn