Verified answer

Хорошая задача. Сначала не будем зацикливаться на минимальности, а просто найдем несколько таких чисел, стараясь, конечно, брать их все меньше и меньше. Первый претендент - это девять факториал, то есть произведение натуральных чисел от одного до девяти:

Конечно, это число можно сильно уменьшить. Достаточно перемножить три двойки, две тройки, пятерку и семерку, и результат будет достигнут - среди делителей встретятся все натуральные числа от 1 до 9, даже двузначные делители не понадобятся. Получили число

Это число можно уменьшить, убрав пятерку - ведь ее можно получить как сумму цифр числа 14, полученного произведением двойки и семерки; получили

Но и это не предел. Если взять произведение пяти двоек и двух троек, то 5 получаем как сумму цифр делителя 32, 7 - как сумму цифр числа 16:

Постараемся доказать, что это уже наименьшее число.

Во-первых, тройки из множителей никак не выбросишь - это следует из признака делимости на девять - если число не делится на 9, то и сумма цифр на 9 делиться не может.

Итак, если мы хотим улучшить результат, мы должны перемножить 9 и число , меньшее 16. С помощью делителей, делящихся на 3, мы, суммируя цифры, можем получить только 3, 6 и 9, остальные числа надо получать  только из делителей числа Нет смысла брать в качестве числа, делящиеся на 3, а также простые числа (из-за скудости делителей). Остаются такие претенденты на роль -  это 4, 8, 10 и 14. Из четверки и восьмерки (ведь это степени двойки) не сделаешь нечетное число, большее 1 (скажем, 5 не сделаешь). Из 10 и 14 не сделаешь 4.

Ответ:    144