Решим эмпирически. [Скриншот ниже]

Для начала найдем все возможные для использования наборы карточек: убираем поочередно одну из карточек. - picks

Нас интересуют только сами карточки. - fixx . picks

Среди всех таких наборов (их ровно 8), надо найти перестановки. - permutations

И каждую такую перестановку собрать в число из цифр. - fromDigits

Среди всех получившихся цифр выбираем кратные 27. - onlyDivd27

Это даёт нам возможность найти "хорошие" значения. - createMulipleFromDigits

Теперь можно проверить, все ли цифры используются.

• Is there any '0' in the good variants? True
• Is there any '1' in the good variants? False
• Is there any '2' in the good variants? True
• Is there any '3' in the good variants? True
• Is there any '4' in the good variants? True
• Is there any '5' in the good variants? True
• Is there any '6' in the good variants? True
• Is there any '7' in the good variants? True

По результатам проверки получается, что числа 1 в "хороших" числах нет. Другими словами, существует лишь один такой набор цифр из представленных, для которых возможно собрать кратное 7 число: [0,2,3,4,5,6,7].