Verified answer

 В усеченном конусе радиусы оснований равны 5 см и 3 см. Через две его образующие проведено сечение плоскостью, которая отсекает от оснований дуги по 120°. Найдите площадь (в см²) сечения, если высота усеченного конуса равна √2 см.

—————————

Ответ: 12 см²

Объяснение:  Основания усеченного конуса параллельны, его образующие равны,⇒ основания сечения лежат в параллельных плоскостях, а плоскость сечения является равнобедренной трапецией.

      Радиусы  оснований и хорды, соединяющая их концы, образуют равнобедренные треугольники АОВ и СО1D  c углами при вершинах О и О1, равными величине отсекаемых плоскостью сечения дуг, т.е. 120°.

Из суммы углов треугольника острые углы этих треугольников (180°-120°):2=30°.

По т. синусов АВ:sin120°=ОВ:sin30°, откуда АВ=5√3.

Аналогично СD=3√3

По свойству катета, противолежащего углу 30°, катет О1М=0,5•О1С=3/2 см.

Аналогично ОN=0,5•ОВ=0,5•5=2,5 см.

Для нахождения высоты MN трапеции АВСD проведем высоты(медианы) О1М в ∆ СO1D и ON в ∆ ВOA и опустим из М перпендикуляр МН на ОN.  

ОН⊥АВ ⇒ по т. о 3-х перпендикулярах  MN⊥АВ. MN - высота сечения.

OH=O1M=1,5 см

НN=2,5-1,5=1 MH=O1O=√2 см

В прямоугольном треугольнике МНN  по т.Пифагора МN=√(MN^2+NH^2)=√(2+1)=√3 см

   Площадь трапеции равна произведению её высоты на полусумму оснований.

S(ABCD)=MN•(CD+AB)•1/2=(3√3+5√3)•1/2=12 (см²)