Verified answer

1. Солнце светило по-зимнему (наречие, .-.-.-) неярко.

По зимнему (предлог+ прилагательное, ~~~) небу плыли снеговые облака.

2.Когда лыжники вышли на место прежней стоянки, там все было по-старому(наречие, .-.-.-).

Лыжники шли по старому (предлог+ прилагательное, ~~~) следу.

3.Солнце садилось, но туристы шли, по-прежнему(наречие, .-.-.-) не останавливаясь.

По прежнему (предлог+ прилагательное, ~~~) пути идти было легче.

4.Шли дожди, поэтому (наречие, .-.-.-)река разлилась.

По этому (предлог+ местоимение, ~~~) мостику местные жители давно уже не ходят.

5.Охотники устали и потому (наречие, .-.-.-)с удовольствием заночевали у лесника.

Мы шли по тому (предлог+ местоимение, ~~~)берегу реки, по которому проходит дорога.

Выделенные слова являются грамматическими омонимами.

Синтаксический анализ⁴

1. Солнце (подлежащее, выражено существительным) светило (сказуемое, выражено глаголом) по-зимнему (обстоятельство, выражено наречием)  неярко(обстоятельство, выражено наречием).

   Предложение повествовательное, невосклицательное, простое, двусоставное, распространенное, полное, не осложнено.