Ответ:

♡Не смыкая, ♡не переводя: Не пишется слитно с полными причастиями: 1) если без не они не употребляются; 2) если при них нет зависимых слов и нет противопоставления с союзом а.

♡Не мудрствуя: Частица НЕ пишется слитно: если без НЕ слова не употребляются: невежа, невмоготу, невзрачный. с местоимениями без предлогов: некогда, нечего, некому. с краткими прилагательными, если можно подобрать синоним: дорога нелегка (тяжела). Частица НИ пишется слитно: С отрицательными местоимениями без предлога. никто, ничто, ничего, никакой, ничей, ничья

♡Не покладая рук: пишется раздельно с отрицательной частицей "не". По грамматической форме слово "покладая" является деепричастием, образованным от архаичного глагола "покладать"

♡Не помня себя: Слитно оно пишется тогда, когда без него слово не употребляется («невзрачный», «неизбежный») и когда его можно заменить синонимом («небольшой» — «маленький», «некрасивый» — «уродливый»). А когда есть противопоставление с «а» («не простой, а сложный»), «не» надлежит писать с прилагательным раздельно.

♡Не солоно: наречие, образованное от прилагательного «несолёный», поэтому пишите слитно. У фразеологизма есть предыстория: В связи дороговизной соли на Руси пищу, как правило, солили непосредственно перед едой. Нежеланный и незваный гость получал соли меньше других и уходил несолоно хлебавши, т. е. его еда была несолёной. Не солоно хлебавши — несолоно хлебавши.