Для вершины параболы верно: x = -b/2a = 5/6

Подставим в функцию, получим y = 3*(5/6)^2-5*(5/6)+4 = 75/36 - 25/6 +4 = (75-150+144)/36 = 69/36 = 23/12

Пересечения с осью 0y - значит х=0. Подставим:

y = 4

Пересечения с осью 0х - решения квадратного уравнения:

D = 25 - 4*3*4

Получается, что дискриминант отрицательный, вещественных решений нет. 

Проверяется рисованием графика по клеточкам. Заодно видно будет, пересекается или нет. Но общие алгоритмы такие